第10题 · 有无数个解的方程：让 x 消失，两边同时归零

题目

10. 已知关于 x 的方程 2ax－b＝3x－2 有无数个解，求 a，b 的值。

答案：a＝3/2，b＝2。

“无数个解”听起来玄，翻译过来就一句：随便 x 取什么，等号都成立。能让 x 怎么取都成立的式子只有一种——x 的系数是 0，而右边也是 0。

分步推理

移项聚 x：2ax－b＝3x－2 ⇒ 2ax－3x＝b－2 ⇒

$$(2a-3)x=b-2$$

要让它有无数个解，左边必须变成 0·x、右边也是 0：

$$2a-3=0\ \Longrightarrow\ a=\frac{3}{2};\qquad b-2=0\ \Longrightarrow\ b=2$$

代回原方程：2×(3/2)x－2＝3x－2，即 3x－2＝3x－2——两边一模一样，x 取任何数等号都成立 ✓。

顺带把这条流水线的另两种命运看清（ax＝b 三命运）：

• 系数不为零（此处 2a－3≠0）：唯一解 x＝(b－2)/(2a－3)；
• 系数为零、右边不为零：0＝非零，无解——x 取什么都不成立；
• 系数、右边全为零：0＝0，无数个解——本题。

上一课时第 10 题讨论过 (a＋3)x＝b－1 的变形条件（除要查零，乘不用查），本题是同一个“字母当系数”家族的应用版：先聚 x，再按三命运对号入座。

自测：关于 x 的方程 (k－2)x＝3k－6，k 取何值时有无数个解？k 取何值时无解？

展开自测答案

无数个解：k－2＝0 且 3k－6＝0 ⇒ k＝2（此时方程变 0＝0）。无解：k－2＝0 而 3k－6≠0——两个条件都由 k＝2 决定，不可能只满足一半，所以本题不存在无解的 k；只要 k≠2 就有唯一解 x＝3。设计“无解”的题会把两边设成不同时为零，如 (k－2)x＝3k＋6，k＝2 时 0＝12 无解。

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