第10题 · 先固定半角，再找OC的两种位置

题目

已知 ∠AOB＝80°，OD 平分 ∠AOB，∠BOC＝30°，求 ∠DOC 的度数。

答案：∠DOC＝10°或70°。

先由平分条件确定∠BOD＝40°，再从OB两侧各画出与OB夹30°的OC。位置没有限定，就要把满足条件的可能位置分别检查。两种情况都成立，不能只留一个答案。

为什么先求半角，再找OC

需要会认角的顶点和两边，理解角平分线，以及把相邻角合起来或从大角中去掉一部分。

所求∠DOC的两边是OD与OC。OD已经由“平分∠AOB”确定在角内的对半位置，所以先求∠BOD，固定一条边与参考射线OB的关系：

$$\angle BOD=80^\circ\div2=40^\circ.$$

另外给了∠BOC＝30°。现在比较的是∠BOD与∠BOC，它们共用参考射线OB；所求是另两条边OD与OC之间的开口。

以下是按题意绘制的辅助图，用来说明两种可能位置。

情况一：OC与OA在OB的同一侧

从OB向上偏30°画OC。因为30°小于已求出的40°，射线的次序是OB → OC → OD → OA，所以OC在∠BOD内部。

∠BOD由∠BOC与∠DOC组成。从40°中去掉30°：

$$\angle DOC=40^\circ-30^\circ=\boxed{10^\circ}.$$

回查：30°＋10°＝40°。C位于OB与OD之间，位置和算式相符。

情况二：OC与OA在OB的两侧

从OB向下偏30°画OC，∠BOC仍为30°。这次OB位于∠DOC内部，从OC看向OD要经过OB。

∠DOC由∠BOC的30°与∠BOD的40°组成：

$$\angle DOC=30^\circ+40^\circ=\boxed{70^\circ}.$$

两幅辅助图都满足题干。30°不是0°或180°，因此OB两侧各有一条不同的OC；原题没有给出侧别条件，故两种答案都要保留。

合并所有满足条件的情况：∠DOC＝10°或70°。

如果题目另外规定“OC在∠AOB内部”，本题就只保留第一种位置；原题没有这条附加条件，不能自己补上。

自测：把30°改成50°，还能照搬原减法吗

保持∠AOB＝80°、OD平分∠AOB，把∠BOC改成50°。先看同侧辅助图：OC是否还在OB与OD之间？再看另一侧，判断∠DOC的全部可能值。

展开50°条件的计算与理由

OD在∠BOC内：∠DOC＝50°−40°＝10°。

本情况的∠DOC＝10°。

同侧时，OC已经越过OD，次序变为OB → OD → OC → OA。现在OD在∠BOC内部，所以用50°−40°＝10°，不能照写40°−50°。

OB在∠DOC内：∠DOC＝40°＋50°＝90°。

本情况的∠DOC＝90°。

另一侧时，OB仍在∠DOC内部，40°＋50°＝90°。

合并所有满足条件的情况：∠DOC＝10°或90°。

同侧结果恰好仍为10°，但减法的先后已经改变。先认射线次序、再写相邻角关系，比记“内侧一律减、外侧一律加”更可靠。

带走的动作是：先确定已能确定的边；围绕共同参考射线列出所有合法位置；每种位置分别认大角与分界射线；核对条件后合并答案。分类不能漏情况，也不能把题目没有给的位置限制当成已知。