第10题 · 拓展：字母 k 的方程，先整理成 (k+2)x=4

k(x+1)=k−2(x−2) 两边去括号移项后归成 (k+2)x=4。(1) k=2 时 x=1；(2) 解为整数即 4/(k+2) 是整数，k+2 是 4 的因数，加上 k 为正整数只剩 k+2=4，即 k=2。

题目

已知关于 x 的方程 k(x+1)=k−2(x−2)。

(1) 当 k=2 时，求方程的解；

(2) 若方程的解为整数，k 为正整数，求 k 的值。

答案：(1) x=1；(2) k=2。

k(x+1)=k−2(x−2)

去括号：kx+k=k−2x+4（右边 −2×(−2)=+4）。

两边同减 k：kx=−2x+4。把 x 项归到左边：kx+2x=4，即

(k+2)x=4。

(2+2)x=4 → 4x=4 → x=1。

由 (k+2)x=4 得 x=4/(k+2)。

x 是整数 ⟺ 4/(k+2) 是整数 ⟺ k+2 是 4 的因数。4 的因数：±1、±2、±4，即 k+2 只能取 −4、−2、−1、1、2、4 之一，解出的 k 对应是 −6、−4、−3、−1、0、2。

k 还得是正整数，只剩 k=2（此时 x=4/4=1 ✓ 整数）。

k+2	−4	−2	−1	1	2	4
k	−6	−4	−3	−1	0	2
正整数？	✗	✗	✗	✗	✗（0 不是正整数）	✓

若 k=−2，方程变成 0·x=4——左边永远是 0，右边是 4，无解。本题 k 限正整数碰不到它，但“系数化 1 之前先查系数是不是 0”这个习惯值得带上（上一课时的动画讲的正是这件事）。

自测：关于 x 的方程 (k+3)x=6，x 为整数、k 为正整数，求 k。

展开核对

x=6/(k+3)，k+3 是 6 的因数：±1、±2、±3、±6。逐一解出 k 再筛“正整数”：k+3=6 时 k=3 ✓；k+3=3 时 k=0，不是正整数 ✗；k+3=2 时 k=−1 ✗；k+3=1 时 k=−2 ✗。只剩 k=3，此时 x=2。

线索（系数里带字母 + “解为整数/正整数”）→ 核心关系（最简形式 (系数)·x=常数，解=常数÷系数）→ 动作（先整理成最简形式，再把“整数解”翻译成因数列举，最后套 k 的范围筛）→ 适用条件（除以带字母的系数前先查它能否为 0）。