第4题 · 两位数对调：数字打包成 10a+2a

个位是十位的 2 倍，设十位为 a、个位为 2a，原数 12a、对调数 21a；对调后大 18 得 9a=18，a=2，原两位数 24。对调差不总是 18——它等于 9×(个位−十位)。

题目

有一个两位数，个位数字是十位数字的 2 倍，将这两个数字对调后得到的两位数比原来的两位数大 18，则原来的两位数是________。

答案：24。

设十位数字为 a，则个位数字为 2a。

原两位数：10a+2a=12a。对调后（个位挪到十位）：10×2a+a=21a。

“对调后比原来大 18”翻译成方程：

21a−12a=18 → 9a=18 → a=2。

十位 2、个位 4，原两位数是 24。

对调后是 42：42−24=18 ✓；个位 4=2×2 ✓ 十位的两倍。两个条件都满足。

21a−12a=9a——对调前后的差恰好是9×(个位−十位)。这不是巧合：任何一个两位数，十位 t、个位 u，对调差 =（10u+t）−（10t+u）=9(u−t)。所以“对调后差 18”就意味着 u−t=2；再配上“个位是十位 2 倍”，即 u=2t，两式联立也能解出 t=2、u=4。

自测：一个两位数，个位数字是十位数字的 2 倍，对调后得到的新数比原数大 27。原来的两位数是多少？

展开核对

9a=27 → a=3，十位 3、个位 6，原数 36。核对：63−36=27 ✓，6=2×3 ✓。条件只把 18 换成 27（即 u−t 从 2 变成 3），方法一字不变。

线索（数字之间倍数关系、对调）→ 核心关系（两位数=10×十位+个位；对调差=9×(个−十)）→ 动作（设一位数字为 a，另一个用倍数表示，把原数和对调数都写成 a 的式子）→ 适用条件（数字问题是“设部分”思想的最典型场景；三位数对调同理：百位权重 100）。