小立方体组合体：怎样直接算总表面积？

题目

图中的几何体由 6 个大小相同的小立方体搭成，每个小立方体的棱长均为 1 cm。

1. 直接写出这个几何体的表面积。
2. 分别画出从正面、左面和上面看到的形状图。

从正面看

从左面看

从上面看

答案：这个几何体的总表面积是 26 cm²。

从正面、左面、上面各看一眼，数出看到几格。每个方向看到几格，朝这个方向的外露面就有几个；它的对面也一样多。 三个数加起来再乘 2，就是全部外露的小面。

先播放演示，跟着它依次数“正面和背面”“左面和右面”“上面和下面”。想看清某个方向，可以点“正视角”“左视角”或“上视角”：视角压平以后，排在同一条视线上的小立方体会叠成一格。

正在准备小立方体表面积与三视图演示…

下面把演示里的每一步写成文字，方便你以后复查。

① 正面看到 5 格，为什么朝前、朝后各有 5 个面？

从正面看，形状图里有 5 个小正方形。

每个小正方形是一条“视线”。顺着这条视线往里看，最先碰到的那个小立方体，有一个朝前的外露面。从背面沿同一条视线看回来，最先碰到的小立方体，又有一个朝后的外露面。

所以朝前的外露面有 5 个，朝后的也有 5 个，合起来是：

$$5+5=10\text{ cm}^2$$

从背面看，图形可能左右翻了过来，但格数不变。

② 左右、上下也这样数

从左面看有 4 格，所以朝左、朝右的外露面各有 4 cm²。

从上面看有 4 格，所以朝上、朝下的外露面各有 4 cm²。

把三对方向全部相加：

$$5+5+4+4+4+4=26\text{ cm}^2$$

写短一点：

$$2\times(5+4+4)=26\text{ cm}^2$$

所以总表面积是 26 cm²。

③ 第 2 小题：三个方向看到的图怎样画？

• 从正面看： 底部一横排，左侧一竖列，拼成一个 L 形，共 5 格。
• 从左面看： 底部一横排，加一竖列，也是一个 L 形，共 4 格。
• 从上面看： 一横排，中间向前突出一格，拼成一个 T 形，共 4 格。

在上面的演示里点“正视角”“左视角”“上视角”，就能对照着画。

④ 换一种办法验算：整面相贴法

把 6 个小立方体先分开。每个有 6 个面，一共有：

$$6\times6=36\text{ 个小正方形面}$$

搭起来以后，有 5 处整面相贴。每贴一处，贴在一起的两个面都藏到了里面，所以每处要减 2 个面：

$$36-2\times5=26\text{ 个外露面}$$

每个小面的面积是 1 × 1 = 1 cm²，所以：

$$S=(6N-2E)a^2=(6\times6-2\times5)\times1^2=26\text{ cm}^2$$

这里 N 是小立方体的个数，E 是整面相贴有几处，a 是小立方体的棱长。两种办法都得到 26 cm²，答案对上了。

⑤ 什么时候不能只数三个方向？

先看一个会出错的例子。搭一个“凹”字：下面一排 3 个小立方体，左右两头上面各再放 1 个。

• 从左面看，只看到 2 格。按“看到几格就有几个面”，朝左、朝右的面一共 4 个。
• 可是“凹”口里面还有两个面：一个朝左，一个朝右。它们面对面隔着空位，从左右两边看，都被挡住了。

少算了这两个面，结果就偏小。

原因是：同一条视线上，小立方体断成了两段，中间有空位。 这时一格投影的后面，不止藏着前后两个外露面。

本题没有这个问题：沿正背、左右、上下每一条视线看进去，小立方体都紧挨着排在一起，中间没有空位。所以一格正好对着最前、最后各一个外露面，可以直接用：

$$S=2\times(\text{正面投影格数}+\text{左面投影格数}+\text{上面投影格数})\times a^2$$

做题时这样选：

1. 每条视线上的小立方体都连在一起、没有空位，就数三个方向，相加乘 2。
2. 只要可能有空位，就用整面相贴法：总面数 − 每处相贴的 2 个面。它什么时候都能用。

下次遇到这类题先看什么

先看清题目要的是总表面积，还是“不算底面”“能涂到的面积”。再检查有没有被空位隔开的小立方体。没有，就数三个方向再乘 2；有，就用整面相贴法。

自测：什么时候答案才是 22 cm²？

如果题目改成“这个几何体放在地面上，求不与地面接触部分的表面积”，结果是多少？

向下的外露面共有 4 个单位正方形，面积是 4 cm²。这时题目明确不计接触地面的部分，才算 26 − 4 = 22 cm²。

原题没有“不计底面”这个条件，所以原题答案仍是 26 cm²。