小立方体组合体：怎样直接算总表面积？

题目

图中的几何体由 6 个大小相同的小立方体搭成，每个小立方体的棱长均为 1 cm。

1. 直接写出这个几何体的表面积。
2. 分别画出从正面、左面和上面看到的形状图。

从正面看

从左面看

从上面看

答案：这个几何体的总表面积是 26 cm²。

这题可以用投影很快口算，但要先记住：题目求的是整个几何体的表面积，下面与桌面接触的面也是几何体的表面，不能删掉。

还要先确认一个条件：本题沿正背、左右、上下三个方向的每一条投影视线看进去，小立方体都连续排在一起，中间没有断层。 因此，一个投影格正好对应这条视线最前、最后各一个外露面，下面的投影快算法才成立。

① 先看正面：为什么正、背方向各贡献 5 个外露面？

从正面看，形状图中有 5 个小正方形。沿正前方朝里面看，每个小正方形所在的视线都对应一个最靠前的外表面；从相反方向看，同一条视线又有一个最靠后的外表面。

所以正面方向和背面方向的外表面面积分别是 5 cm²，合起来是：

$$5+5=10\text{ cm}^2$$

这里说的是正、背两个方向的面积格数相等。两幅图从相反方向观察时可能左右翻转，但格数不变。

② 再看左面和上面：三对相反方向一起数

从左面看有 4 格，所以左面方向与右面方向分别贡献 4 cm²。

从上面看有 4 格，所以向上的外表面与向下的外表面分别贡献 4 cm²。

把三对相反方向全部相加：

$$5+5+4+4+4+4=26\text{ cm}^2$$

也可以写得更短：

$$2\times(5+4+4)=26\text{ cm}^2$$

因此总表面积是 26 cm²。

③ 三个方向看到的图怎样画？

• 从正面看： 底部横排和左侧竖列组成一个 L 形，共 5 格。
• 从左面看： 底部横排和竖列也组成一个 L 形，共 4 格。
• 从上面看： 横排中间向前突出一格，组成一个 T 形，共 4 格。

三维互动中可以分别切换正面、左面和上面。把视角压平后，立体中落在同一条视线上的小立方体会重合成一个投影格。

正在准备小立方体表面积与三视图演示…

④ 用“整面相贴法”检验：任何这类题都能用

把 6 个小立方体先分开，每个有 6 个面，一共有：

$$6\times6=36\text{ 个单位正方形面}$$

搭起来后，共有 5 处整面相贴。每贴一次，接触处的两个面都会藏到里面，所以每处要减 2 个面：

$$36-2\times5=26\text{ 个外露面}$$

每个小正方形面的面积是 1 × 1 = 1 cm²，所以：

$$S=(6N-2E)a^2=(6\times6-2\times5)\times1^2=26\text{ cm}^2$$

其中，N 是小立方体个数，E 是整面相贴的对数，a 是小立方体棱长。

⑤ 投影快算法什么时候能直接用？

本题沿正背、左右、上下三个方向的每一条投影视线看进去，小立方体都是连续排在一起的，中间没有空隙。因此每个投影格恰好对应这一方向最前、最后各一个外露面，可以直接用：

$$S=2\times(\text{正面投影格数}+\text{左面投影格数}+\text{上面投影格数})\times a^2$$

如果同一条视线上有两段小立方体，中间隔着空位，投影仍只显示 1 格，但空隙两侧还会多出外露面。这时直接把三视图格数乘 2 会少算。

所以做题时可以这样选方法：

1. 每条投影视线都连续、没有断层时，用三对投影快速口算。
2. 只要可能有内部空隙，就用通用的整面相贴法：总面数 − 每处相贴的 2 个面。

自测：什么时候答案才是 22 cm²？

如果题目改成“这个几何体放在地面上，求不与地面接触部分的表面积”，结果是多少？

向下的外表面共有 4 个单位正方形，面积是 4 cm²。这时题目明确不计接触地面的部分，才算 26 − 4 = 22 cm²。

原题没有“不计底面”这个条件，所以原题答案仍是 26 cm²。