七年级数学周练：有理数与整式 · 错题复盘与再测

这次先补三件事：每个数的符号、每一步为什么相等、每个量表示什么。 第 3、15、17 题已经留下正确作答。我们用这些会的部分，接着补不会的部分。

查看完整题目和标准答案。本页不重抄整张卷子。每节都有原题链接，可以来回对照。

先读这一段，再开始复盘

黑笔是判断的主要依据。红笔订正告诉我们正确做法，不能证明你已经独立做会。照片里被遮盖或看不清的步骤，也不能补成你当时的想法。

下面写“可能当时这样想”，都只是待核实的解释。你可以说：“我当时不是这样想的。”请接着指出，你真正开始拿不准的是哪一步。

第 12、15 题要先纠正我们的判断：有红圈，不等于数学结果错。 第 12 题的 −2/2 就是 −1；第 15 题的 4m+−n、1x−y，分别等于 4m−n、x−y。这几处需要把最后一行写规范，不能算成概念完全不会。

这份照片没有足够依据还原准确得分，因此不重新估分。我们记录的是“哪里需要再试”，不是给你贴能力标签。

全卷逐题核对

原题	照片中能确认的黑笔	本次判断与下一步
1	选 A	正确。能按题目约定区分相反方向。
2	选 C	正确。59.3 万亿写成 5.93×10¹³。保留“先换单位，再定指数”的检查。
3	题旁选 C；答题栏有涂改	题旁结果正确，不猜答题栏涂改先后。知道 −(a−b)=−a+b，后面检查能否用于较长的式子。
4	选 D	正确。能按正放、斜放的约定读取算式。
5	选 B	应选 A。只有选项，没有过程；需辨清“单项式”与“只有一项”的区别。
6	选 A，即 6	应选 B，即 8。需分开检查对面配对、未知数、上下方向。
7	选 B	应选 C。所选式子减了一个整圆，实际只遮了半个圆的面积。
8	选 D	应选 C，即 −c−a。需先判断绝对值里面的正负。
9	填 2/7	正确。先求绝对值得 7/2，再取倒数。
10	填 445	正确。能找到允许范围的最小值。
11	填 2，无过程	应为 −3。要核实是否看出 −2x+6y=−2(x−3y)。
12	填 −2/2	数学结果正确，末步应化成 −1。不能据此认定负数乘方不会。
13	答题栏空白；题旁分数疑似 41/111	标为待核实。标准答案为 41/111。让你独立讲一次，比猜字迹更可靠。
14	①把 −28+28 写成 1，得 101；②把 −2² 写成 +4，得 −23；③认为第二步“符号写反”，重算仍拆开除数	三处错误性质不同。分别补相反数相加、乘方作用的范围、除法的运算顺序。
15	①4m+−n；②1x−y	两个结果均等价正确。最后写成 4m−n、x−y。
16	旁算写 15、4；写 −30+16 后得到 14；另有化简结论	应化为 6xy−4，值为 −10。被遮盖的中间过程无法还原；可辨认的代入结果和最后加法都需重查。
17	三视图与 64 克	三视图和答案正确。第 6 题的错误不等于所有空间题都不会。
18	方案一写 200x；方案二写 0.9×x×200；又算出折后单价 18 和 4.5	两个付款式未按单价×收费数量建立。打九折的单价算对了，先补“谁付钱、付多少”的关系。原卷此题重复印为 17，本页按顺序称 18。
19	①写 n−1/(n+1)；②第一个和写 2021/2022；一般和写 (n−1)/n；③只见红笔订正	有具体数字时能得到正确的和。字母式的倒数与最后一项还需检查。第③问暂记“未见独立作答”，不记“已经会”。
20	①答“不是”；②位置写 3t；最后一问未见作答	需核实是否漏看定义中的整段 AB；3t 表示走过的路程，尚未写出所在位置。最后应找到三个时间，不能只找两个。

怎样用这页，才不只是看懂答案

每次只选一节，先把原题的红笔挡住。用一句话说：“我这一行为什么这样写？”再读下面的补讲。

每道“同型检测”都要选择答案和理由。先在纸上算，再点选。 若看了提示或答案才做出，在纸上写“借了提示”，之后换题再试。页面上的一次正确，只说明这次答对；它不能替你证明长期掌握。

可以分三次做，每次只打开需要的小节：

第一次补运算：1. 相反数与乘方 → 2. 整式概念 → 3. 绝对值 → 4. 化简与代入 → 5. 除以一个和。
第二次读懂题意：6. 正方体 → 7. 组合面积 → 8. 购买方案。
第三次练新问题：9. 裂项与字母 → 10. 新定义与运动 → 11. 核实循环小数。

已经能独立解释并做对变式的小节，可以跳过。觉得吃力时，一次只做一节。

1. −28+28 为什么是 0，而 −2² 为什么是 −4

对应第 14 题①②，也对照第 12 题。

第①问答案是 100。你把 −28 和 +28 放在一起，这个选择很好。第一处不成立的是：−28+28=1。 它应当等于 0。

可能是把“互为倒数的两个数相乘得 1”混进来了；也可能只是这一行笔误。照片无法分清。先问自己一句：“−8+8 和 −8×(−1/8)，分别是多少？”如果前者答 0、后者答 1，并能说明理由，就先按计算检查来补，不必重学整章。

把欠的 28 元补回 28 元，余额回到 0。所以：

31+(-28)+28+69=31+0+69=100

第②问答案是 −31。第一处不成立的是把 −2² 换成 +4。没有括号时，平方只作用在 2 上；前面的负号还留着。

-2^2=-(2\times2)=-4,\qquad(-2)^2=(-2)\times(-2)=4

你当时可能把“负数的平方是正数”直接用上了，却没先看谁在平方。也可能只是漏写负号。用“请把 −3² 写成乘法”来区分。写成 −(3×3) 就说明范围已看清。

原题接着算：−4+8−5×7=4−35=−31。第 12 题中的 (−5)² 和 (−3)³ 有括号，要把负号连同数字一起乘；那题的 −2/2 本身是正确结果。

下次检查： 先圈出乘方的底数，再算；遇到互相抵消的数，在旁边写一个小小的“0”。

同型再测：先做，再说理由

同型检测：18+(−25)+25−3² 的值是多少？请先把最后的 −3² 写成乘法。

先在纸上写过程，再选择答案和理由。不要只凭选项猜答案。

查看答案与讲解（之后作答记为对照练习）

答案 B；理由 C。

18+(−25)+25−3²=18+0−9=9。相反数相加得0；没有括号的−3²是3的平方前再加负号。

请合上解析，用自己的话解释关键一步；隔天换一道题独立做，才能进一步确认掌握。

2. 单项式不能只靠“没有加减号”判断

对应第 5 题；第 15 题作为已会的对照。

第 5 题应选 A。你选的 B 把 3/x 当成了单项式。没有计算过程，所以先核实一句：“你是因为它只有一块，就觉得它是单项式吗？”

单项式是数和字母的乘积。字母的指数应是非负整数；例如 3x、−2ab²。数字可以在分母：x/3=(1/3)x。字母放在分母的 3/x，不属于这里学的单项式。还有 x=0 时，3/x 根本没有意义。

第 5 题的几个量要分别看：

2x²y 的次数是 2+1=3。3xy 的次数是 2。常数 −4 的次数是 0。因此 2x²y+3xy−4 有三项，最高次数为 3，是三次三项式。
−5πab² 的数因数是 −5π。π 是一个确定的数，属于系数；字母 a、b 才是这里的变化量。
3x 的次数是 1，数字 3 不计入次数。

这里没有学生写出的等号可追。最早需要修正的是“3/x 是单项式”这个判断。若你能把定义讲清，却只是看错选项，就把训练重点改为逐项核对。

第 15 题已经能合并同类项。字母和指数相同，才把系数相加。你写的“+−n”表示加上 −n，值没有错；收尾写成“−n”更清楚。1x 写成 x。

下次检查： 单项式看字母有没有跑到分母；次数只加字母的指数；系数把 π 和负号一起带走。

同型再测：先做，再说理由

同型检测：x/3 与 3/x 中，哪一个是初一所学的单项式？

先在纸上写过程，再选择答案和理由。不要只凭选项猜答案。

查看答案与讲解（之后作答记为对照练习）

答案 A；理由 B。

只有x/3是单项式，系数为1/3。判断时看字母是否在分母，而不是只看有没有分数线、加号或减号。

请合上解析，用自己的话解释关键一步；隔天换一道题独立做，才能进一步确认掌握。

同型再测：先做，再说理由

同型检测：关于 −3πab²，哪个说法正确？

先在纸上写过程，再选择答案和理由。不要只凭选项猜答案。

查看答案与讲解（之后作答记为对照练习）

答案 C；理由 C。

系数为−3π，次数为1+2=3。对照判断：a/3是单项式，3/a不是这里定义的单项式。请把这两个例子的差别口头讲出来。

请合上解析，用自己的话解释关键一步；隔天换一道题独立做，才能进一步确认掌握。

3. 绝对值拿走后，里面可能要整体变号

对应第 8 题。答案为 −a−c，选 C。

你选的 D 是 a+2b−c。这个结果正好可能来自把 |a+b| 直接写成 a+b，再减去 c−b。也可能是别的运算走到了同一选项。先问：“a、b 都小于 0，a+b 可能是正数吗？”

数轴告诉我们 b<a<0<c。因此 a+b<0，而 c−b>0。绝对值表示到 0 的距离。负数到 0 的距离，要取它的相反数；正数的距离就是它自己。

|a+b|=-(a+b),\qquad |c-b|=c-b

|a+b|-|c-b|=-a-b-(c-b)=-a-b-c+b=-a-c

如果当时真的直接去掉了第一对竖线，第一处错误就是 |a+b|=a+b。不是等到合并 b 时才错。

可以用 a=−1、b=−3、c=2 检查：原式是 4−5=−1；−a−c 也等于 −1。代一组数可以发现错误，完整理由仍是前面的正负判断。

下次检查： 每对绝对值下面先写“正”或“负”，再写去掉竖线后的式子。负的那一块要加括号整体变号。

同型再测：先做，再说理由

同型检测：已知 p<q<0<r，化简 |p+q|−|r−p|。

先在纸上写过程，再选择答案和理由。不要只凭选项猜答案。

查看答案与讲解（之后作答记为对照练习）

答案 A；理由 C。

原式=−p−q−r+p=−q−r。p抵消来自正确的加减运算，不是因为p为负就可以删去。

请合上解析，用自己的话解释关键一步；隔天换一道题独立做，才能进一步确认掌握。

4. 先把已知的一整块找出来，再代数值

对应第 11 题和第 16 题。

第 11 题应为 −3。黑笔只有 2。不能据此断定你用了哪种算法。一个可能是把 7−2x+6y 看成 7−(x−3y)，这会得到 7−5=2；另一种可能是算错。请先不求值，只补空：“−2x+6y=□×(x−3y)”。

观察 −2x 和 +6y：它们分别是 x 和 −3y 的 −2 倍。因此：

7-2x+6y=7-2(x-3y)=7-2\times5=-3

题目没给 x、y 各是多少，但已经给了我们需要的 x−3y。无需把两个字母单独求出来。如果写成 7−(x−3y)，第一处不成立就在这里：展开后 x、y 的系数对不上。

同型再测：先做，再说理由

同型检测：已知 a−2b=4，求 9−3a+6b 的值。

先在纸上写过程，再选择答案和理由。不要只凭选项猜答案。

查看答案与讲解（之后作答记为对照练习）

答案 A；理由 B。

9−3(a−2b)=9−3×4=−3。把括号展开为−3a+6b，可以检查提取的倍数是否正确。

请合上解析，用自己的话解释关键一步；隔天换一道题独立做，才能进一步确认掌握。

第 16 题：先化简，让要代入的东西变少

这题化简为 6xy−4，代入后为 −10。照片里旁算的两个括号值写成了 15、4；按原题应分别为 9、2。你另写的 2(x²+xy)−1 也与原式不等价。被遮住的步骤无法告诉我们这些结果怎样算出来，因此不猜具体成因。

可见的“−30+16=14”也不成立：负数的绝对值较大，结果应为 −14。不过把这一行改成 −14，还没解决前面代入值已经错误的问题。

题目要求“先化简”，线索是两组 x² 项可能抵消。每个括号外的数，要乘到里面每一项：

\begin{aligned}&-2(2x^2-xy)+4(x^2+xy-1)\\&=-4x^2+2xy+4x^2+4xy-4\\&=6xy-4\end{aligned}

这里 −2×(−xy)=+2xy；4×(−1)=−4。每个乘积都写出来，就能看见有没有漏项。然后算 xy=2×(−1/2)=−1，得到 6×(−1)−4=−10。

这和第 15 题会做的合并同类项是同一件事，只是先多了一步“把外面的数乘进去”。先问自己：“我能把每个乘号连到它要乘的项吗？”再判断是分配没理解，还是单纯代数计算失误。

下次检查： 展开时数一数原有几项；合并后再代入；负数代入加括号。最后可以用原式直接算一遍，结果应相同。

同型再测：先做，再说理由

同型检测：−3(2u²−uv)+2(3u²+uv−2)，当u=2、v=−1时等于多少？

先在纸上写过程，再选择答案和理由。不要只凭选项猜答案。

查看答案与讲解（之后作答记为对照练习）

答案 B；理由 A。

展开为−6u²+3uv+6u²+2uv−4=5uv−4。uv=−2，所以值为−14。请先写化简结果，再写代入结果。

请合上解析，用自己的话解释关键一步；隔天换一道题独立做，才能进一步确认掌握。

5. 除以一个和，要先算这个和

对应第 14 题③。正确答案是 −96，印刷示例从第一步就已经错了。

你写“第二步”“符号写反”，重算时仍把除数拆开。可见你在查正负号，却把第一行的运算方式当成了正确起点。这是本题最先要补的地方。

印刷示例把 −48÷(5/12−1/4+1/3)，写成了分别除以三个分数再相加减。除数是括号里的整个数，不能拆成三个除法。

先用小数目检查：12÷(2+4)=12÷6=2。若拆成 12÷2+12÷4，就得到 9。两个数不同，说明这个拆法不能照搬。

乘法的分配律说 12×(2+4)=12×2+12×4；它没有说除以一个和也能这样拆。你可以问自己：“现在是乘括号，还是把整个括号当除数？”

\frac5{12}-\frac14+\frac13=\frac5{12}-\frac3{12}+\frac4{12}=\frac12

(-48)\div\frac12=(-48)\times2=-96

这里最后一步是在除数算成 1/2 以后，把除以 1/2 改成乘 2。第一处不成立的等号已经定位；后面的符号即使算对，也救不回前面的错误。

下次检查： 遇到“除以括号”，先在整个括号下画横线，提醒自己那是一个除数。检查别人的解答时，从第一个等号起看，不从最后答案倒着猜。

同型再测：先做，再说理由

同型检测：−30÷(2/3−1/6) 的值是多少？

先在纸上写过程，再选择答案和理由。不要只凭选项猜答案。

查看答案与讲解（之后作答记为对照练习）

答案 A；理由 A。

2/3−1/6=4/6−1/6=1/2，所以原式=−30×2=−60。计算前先指出整个除数是哪一块。

请合上解析，用自己的话解释关键一步；隔天换一道题独立做，才能进一步确认掌握。

6. 正方体先找相对面，再确定哪面朝上

对应第 6 题及其展开图。答案是 8，不是 6。

黑笔只选了 6。这个结果可能来自把上下方向看反，也可能更早就配错了相对面。先问：“4 对着谁？2 对着谁？”这两个答案能把问题分开。

沿原图的边折起，三对相对面是：4 与 10、2 与 x、6 与 y。相对面不共用一条棱；展开图里隔得远，不一定就是相对。

题目说每对相对面的和相等。已知的一对给出 4+10=14，因此 2+x=14，x=12；6+y=14，y=8。

最后还有方向条件。把外表面的 2 放在右面、4 放在后面，y 所在面朝上，6 朝下。算出 x、y 以后，还要再回答“谁在上面”。 6 与 8 是一对相对面，不能只知道这一对就随意选一个。

若脑中折叠不清楚，照标准卷的六个方格画在纸上。写数字的一面朝外，剪下后折起。先按题意摆好 2 和 4，再读顶面。用纸验证是在帮助理解，不算“空间能力差”。第 17 题正确，也说明你已经能完成另一类空间观察。

下次检查： 在草稿上依次写“对面配对→求数字→按右、后摆正→读上面”。不要跳过最后的摆正。

同型再测：先做，再说理由

同型检测：沿用第6题同一张展开图、同样的数字。现在把2放在左面、4仍放在后面，外表面朝外。上面是什么数？可用纸折后再选择。

先在纸上写过程，再选择答案和理由。不要只凭选项猜答案。

查看答案与讲解（之后作答记为对照练习）

答案 A；理由 C。

原来2在右、4在后时，8在上、6在下。保持4在后，把2转到左，上下也随之互换，因此6在上。相对面配对与数值并没有改变，改变的是朝向。

请合上解析，用自己的话解释关键一步；隔天换一道题独立做，才能进一步确认掌握。

7. 先数清用了几个四分之一圆

对应第 7 题。透光面积为 2ab−πb²/2。

你选 B，相当于用长方形面积减去 πb²。这个式子把遮光部分算成了一个整圆。可能是把两块各当半圆，也可能是忘了乘 1/4。先问：“每一块占同样半径的整圆的几分之几？”

宽是 2b、高是 a，所以整窗面积是 2ab。题目明确说每块是半径 b 的四分之一圆。两块合起来是 2×1/4=1/2 个圆：

S_{\text{遮光}}=2\times\frac14\pi b^2=\frac12\pi b^2

S_{\text{透光}}=2ab-\frac12\pi b^2

第一处需要改的关系是“遮光面积=πb²”。若你四分之一圆的面积本来知道，就检查是不是遗漏了“两个”和“每个四分之一”的合计。

下次检查： 先写“整窗−遮光”。遮光面积单独写成“块数×每块面积”，算完再代回。

同型再测：先做，再说理由

同型检测：长方形窗宽6、高7；上方两块遮光部分各是半径3的四分之一圆。透光面积是多少？

先在纸上写过程，再选择答案和理由。不要只凭选项猜答案。

查看答案与讲解（之后作答记为对照练习）

答案 C；理由 A。

整窗面积为6×7=42。遮光面积为2×(1/4)×π×3²=9π/2，所以透光面积为42−9π/2。单位为平方单位。

请合上解析，用自己的话解释关键一步；隔天换一道题独立做，才能进一步确认掌握。

8. 苹果的两种优惠：先问每一种苹果付多少钱

对应第 18 题。两方案付款相同时，普通苹果共需 200 千克。

黑笔写 200x 和 0.9×x×200。这两式把两种苹果的数量相乘了。它们算不出付款：千克×千克不是元。你随后把 20×0.9 算成 18、5×0.9 算成 4.5，这两步是对的。因此先补付款关系，比重新讲“九折是什么”更有用。

可能当时记住了“用乘法求总价”，却没有把哪个数是单价分清；也可能漏看了赠送的普通苹果。先问一句：“200 是多少钱，还是多少千克？x 呢？”

方案一：先确定赠送的数量

买 200 千克精品苹果，每千克送 0.5 千克普通苹果，所以送 100 千克普通苹果。

公司总共要 x 千克普通苹果。这 100 千克也算在需要的数量里，所以只给余下的 x−100 千克付钱。题目给 x>100，正好说明还需要另外购买。

苹果	实际需要	需要付钱的数量	单价	付款
精品	200 千克	200 千克	20 元/千克	4000 元
普通	x 千克	x−100 千克	5 元/千克	5(x−100) 元

P_1=200\times20+5(x-100)=5x+3500

方案二：全部购买，再打九折

方案二只打折，不赠送。精品和普通都按实际需要的数量买。先算未打折的总价，再乘 0.9：

P_2=(200\times20+5x)\times0.9=3600+4.5x

也可以分别用折后单价算：200×18+4.5x。两个式子展开后一样，不能把两种方案的赠送和打折叠在一起用。

为什么会在 200 千克时相等

方案一少付 100×5=500 元，优惠固定。方案二的精品少付 400 元，普通每千克少付 0.5 元。要让方案二总共也少付 500 元，普通苹果还需省 100 元。因此普通苹果为 100÷0.5=200 千克。

如果已学用方程，就把同一关系写成：

5x+3500=4.5x+3600\quad\Rightarrow\quad0.5x=100\quad\Rightarrow\quad x=200

代回两方案：方案一 4000+5×100=4500 元；方案二 (4000+1000)×0.9=4500 元。还满足 x>100。

下次检查： 每个乘法写清“元/千克×千克=元”；每种商品各占一行；最后将求得数量放回两个方案，不只看某个中间单价。

同型再测：先做，再说理由

同型检测：买100千克精品苹果，单价20元；另需普通苹果x千克，单价5元。方案一每买1千克精品送0.5千克普通，方案二所有苹果九折，不能同时用。x>50，两方案同价时x是多少？

先在纸上写过程，再选择答案和理由。不要只凭选项猜答案。

查看答案与讲解（之后作答记为对照练习）

答案 B；理由 A。

方案一付款=2000+5(x−50)=1750+5x；方案二=0.9(2000+5x)=1800+4.5x。相等得0.5x=50，x=100。代回两者均为2250元。数字相同不是理由，付款关系才是理由。

请合上解析，用自己的话解释关键一步；隔天换一道题独立做，才能进一步确认掌握。

9. 裂项：先证明一项怎么拆，再看最后剩谁

对应第 19 题。你算出的 2021/2022 是正确的。我们从这个已经做对的结果，回看字母和变式。

一项中的 n 也要放在分母

第①问黑笔写成 n−1/(n+1)。正确的是 1/n−1/(n+1)。可能是沿用了例子开头的“1”，换成字母时把倒数漏了；也可能只漏写了分数线。先让自己读：“第一项是 n，还是 n 的倒数？”

为什么想到用两个倒数相减？因为相邻的 n 和 n+1 通分后，分子恰好相差 1：

\frac1n-\frac1{n+1}=\frac{(n+1)-n}{n(n+1)}=\frac1{n(n+1)}

这是解释每一项都能这样拆的理由。代 n=2 也能迅速发现原写法不对：1/6 不等于 2−1/3。但只试一个 n 不能代替上面的通分证明。

最后一项要拆出来，不能只记“剩下首尾”

原题一般和的黑笔答案是 (n−1)/n。它把最后分母当成了 n；实际最后一项是 1/[n(n+1)]，拆开后末尾是 −1/(n+1)。

\begin{aligned}&\left(1-\frac12\right)+\left(\frac12-\frac13\right)\\&\quad+\cdots+\left(\frac1n-\frac1{n+1}\right)\\&=1-\frac1{n+1}=\frac n{n+1}\end{aligned}

中间的 −1/2 与 +1/2、−1/3 与 +1/3 成对抵消。最先的 +1 和最后的 −1/(n+1) 没有伙伴，才留下来。

你在数字题知道留 −1/2022，所以得到 2021/2022。字母题把 2021 换成 n 时，2022 就应跟着变成 n+1。先问：“你的 n 表示最后一项的第一个因数，还是第二个因数？”这能查出是不是换字母时换了含义。

间隔由 1 变成 2，为什么多乘一个 1/2

第③问只见红笔订正，暂时不知道你独立会到哪里。先看第一项，不急着看最后的 2022：

\frac12-\frac14=\frac14,\qquad\frac1{2\times4}=\frac18

两个倒数直接相减，大了一倍，所以需要乘 1/2。一般地，a 和 a+2 通分后分子是 2：

\frac1a-\frac1{a+2}=\frac2{a(a+2)}\quad\Rightarrow\quad\frac1{a(a+2)}=\frac12\left(\frac1a-\frac1{a+2}\right)

把每一项都这样拆，公共的 1/2 留在外面：

\begin{aligned}&\frac1{2\times4}+\frac1{4\times6}+\cdots+\frac1{2020\times2022}\\&=\frac12\left(\frac12-\frac1{2022}\right)\\&=\frac{505}{2022}\end{aligned}

下次检查： 第一项通分验一下；最后一项完整拆开；中间抵消完仍保留外面的倍数。先看相邻因数差多少，再决定要不要除以这个差。

同型再测：先做，再说理由

同型检测：1/(3×6)+1/(6×9)+1/(9×12) 等于多少？这次相邻因数差3。

先在纸上写过程，再选择答案和理由。不要只凭选项猜答案。

查看答案与讲解（之后作答记为对照练习）

答案 C；理由 B。

1/[a(a+3)]=(1/3)(1/a−1/(a+3))。三项相加后=(1/3)(1/3−1/12)=(1/3)×(1/4)=1/12。把第一项通分验证，便知道1/3从哪里来。

请合上解析，用自己的话解释关键一步；隔天换一道题独立做，才能进一步确认掌握。

10. 新定义要读完整；路程和位置要分开

对应第 20 题。中点也是“二倍点”；若按每个数轴单位长1厘米作演示，三个时间为10/3秒、5秒、20/3秒。

中点为什么也符合

你答“不是”。这很可能是只比较了 AC 与 CB：中点使它们相等，确实不是彼此的两倍。但题目列出的线段有三条：AB、AC、CB。整段 AB 也参加比较。 另一种可能是当时漏读了这一句。先问：“定义允许比较的三条线段，你能全部指出吗？”

在中点处，AB=2AC，也有 AB=2CB。因此它符合“其中一条是另一条的两倍”。如果当时只比较了两小段，第一处错误就发生在把题意缩成“左右两小段一定要成两倍”时。

怎样找全位置？设左右两小段分别长 u、v，整段就是 u+v。每次都从这三条里取两条比较：

整段是左段的两倍：u+v=2u，所以 u=v，是中点。
整段是右段的两倍：u+v=2v，也得到同一个中点，记一次。
左段是右段的两倍：u=2v，得到左右长为全长的 2/3、1/3。
右段是左段的两倍：v=2u，得到左右长为全长的 1/3、2/3。

两小段都不超过整段，且整段长度大于0，所以“小段是整段的两倍”行不通。端点也不满足条件：三段长度是 0、全长、全长，没有谁是另一条的两倍。这样全部比较完，只有三个位置。

同型再测：先做，再说理由

同型检测：线段AB长18，点C在线段内部。仍按原题的三条线段定义，AC分别是多少时C是“二倍点”？

先在纸上写过程，再选择答案和理由。不要只凭选项猜答案。

查看答案与讲解（之后作答记为对照练习）

答案 C；理由 B。

AC=6时BC=12；AC=9时AB=2AC；AC=12时BC=6。每个位置都写出一条实际成立的两倍关系，才能确认。

请合上解析，用自己的话解释关键一步；隔天换一道题独立做，才能进一步确认掌握。

先注明单位，再区分路程和位置

现存题干把速度写成每秒3 cm，计算秒数需要明确一个数轴单位长多少厘米。以下运动表按每个数轴单位长1 cm演示；其他单位长度的通式见第20题完整讲解。

黑笔填3t。这个量算对了“从B出发走过的厘米路程”，却没有包含起点20和向左的方向。可能当时把所有运动题都写成速度×时间，也可能只漏写了20−。先问：“t=0时代入你的式子，M应在0，还是在B的20？”

在此演示约定下，每过1秒向左走3个数轴单位，数轴上的数减少3，所以所在位置为20−3t。全长为30厘米，走完全程要30÷3=10秒，因此0≤t≤10。

t	走过的路程BM（cm）	所在位置	离A的长度AM（cm）
0 秒	0	20	30
1 秒	3	17	27
10 秒	30	−10	0

以下长度均用厘米：BM=3t，AM=30−3t。三种位置分别满足：

两倍关系	两小段长度（cm）	已从B走过（cm）	时间
AM=2BM	AM=20，BM=10	10	10/3 秒
AB=2AM=2BM	AM=BM=15	15	5 秒
BM=2AM	AM=10，BM=20	20	20/3 秒

把每个时间放回AM、BM，可逐一验证。这三个演示时刻都在0到10秒内；最后一问的空白不能证明是哪一步不会，先检查定义，再检查位置式，才知道该补哪一处。

下次检查： 位置式代入 t=0 看起点；运动结束时看终点；新定义把允许比较的对象全部列出，再删去重复结果。

同型再测：先做，再说理由

同型检测：A表示−6，B表示12。M从B每秒向左走2个数轴单位，走到A停止。M的位置和成为原定义“二倍点”的全部时间是哪组？

先在纸上写过程，再选择答案和理由。不要只凭选项猜答案。

查看答案与讲解（之后作答记为对照练习）

答案 B；理由 C。

位置为12−2t，0≤t≤9。二倍点的BM为6、9、12，时间分别为3、4.5、6秒。中点时AB是AM与BM的两倍，因此4.5秒不能漏。

请合上解析，用自己的话解释关键一步；隔天换一道题独立做，才能进一步确认掌握。

11. 循环小数：让小数点后完全一样，再相减

对应第 13 题。答案为 41/111。这题暂记“待核实”，不先认定你做错。

原题的循环节是 369，即 0.369369……。答题栏没有填，题旁分数疑似正确，但照片不足以确认全部笔画。先让你独立说：“应该乘 100、1000，还是别的数？为什么？”

我们想把无限重复的尾巴去掉。把小数点移三位，尾巴仍然是 .369369……，就能相减：

S=0.369369\ldots,\qquad1000S=369.369369\ldots

1000S-S=369,\qquad999S=369,\qquad S=\frac{369}{999}=\frac{41}{111}

第一处要核实的是“移几位才能使尾巴一样”。本题没有能确定的错误等号，不能编出一个。乘 100 后尾巴变成 .936936……，与原来对不齐；乘 1000 才对齐。

这也说明无限循环小数可以写成分数，属于有理数。请注意“循环”这个条件，不能推成所有无限小数都能如此处理。

下次检查： 先写出两三组循环节；移一整个循环节的位数；两行小数部分对齐后才相减。做完把答案填到规定位置。

同型再测：先做，再说理由

同型检测：0.272727……化成最简分数是多少？

先在纸上写过程，再选择答案和理由。不要只凭选项猜答案。

查看答案与讲解（之后作答记为对照练习）

答案 B；理由 A。

S=0.272727……，100S=27.272727……；相减得99S=27，所以S=27/99=3/11。乘100来自循环节有两位，不是背一个固定分母。

请合上解析，用自己的话解释关键一步；隔天换一道题独立做，才能进一步确认掌握。

近五年中考原题：做完同型检测后再试

下面保留原题完整题干、选项及必要图示，答案默认折叠。前面的“同型检测”和延迟检测是针对本卷编写的练习，不是中考真题。

2024·江苏盐城·第 1 题：相反数与倒数

2024 的相反数是

A. 2024　　B. −2024　　C. $\frac1{2024}$ 　　D. $-\frac1{2024}$

展开答案与说明

答案为 B。2024+(−2024)=0，所以 −2024 是它的相反数。1/2024 是它的倒数，因为两者相乘得 1。对应本页第 1 节，注意“相加为 0”与“相乘为 1”的区别。

原卷扫描 PDF（第 1 页）。题干及四个选项已按扫描页核对。

2023·江西·第 7 题：系数要包含负号

单项式 $-5ab$ 的系数为______．

展开答案与说明

答案为 −5。−5ab=(−5)×a×b，数字因数包含负号。对应本页第 2 节：把数字与字母分开看，再说系数和次数。

原卷来源页 · 原卷第 2 页扫描图。题干已按原卷逐字核对；本题没有附图和选项。

2024·安徽·第 1 题：绝对值是到 0 的距离

−5 的绝对值是

A. 5　　B. −5　　C. $\frac15$ 　　D. $-\frac15$

展开答案与说明

答案为 A。数轴上的 −5 在 0 的左边，到 0 的距离是 5，所以 |−5|=5。负号表示方向，距离不带负号；倒数 1/5 是另一回事。

这题先检查本页第 3 节所用的绝对值定义。它没有考字母式的正负判断或乘方顺序；这道做对后，还要完成前面的对应变式。

原卷扫描 PDF（第 1 页）。卷名、完整题干和四个选项已按原卷逐项核对；本题没有附图。

2025·江苏苏州·第 11 题：先看两字母的差

若 $y=x+1$ ，则代数式 $2y-2x+3$ 的值为______．

展开答案与说明

答案为 5。由 y=x+1 得 y−x=1，所以 2y−2x+3=2(y−x)+3=2×1+3=5。也可以把 y 换成 x+1，得到 2(x+1)−2x+3=5。

对应本页第 4 节：题目没有唯一确定 x 和 y，却确定了它们的差。先看所求式里能不能找到这一整块。

完整原卷转载页 · 原卷第 2 页扫描图。卷名、题号、题干和末项 +3 已按原卷扫描核对；本题没有选项和附图。

2024·江苏盐城·第 5 题：正方体相对面

正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种平面展开图，那么在原正方体中，与“盐”字所在面相对的面上的汉字是

A. 湿　　B. 地　　C. 之　　D. 都

展开答案与说明

答案为 C，“之”。把“之”作为正面，“地”“都”折成左右面；“盐”从“都”向后折，成为背面。于是“盐”与“之”相对。其余两对是“地”与“都”、“湿”与“城”。可以先口头判断，再用纸折验证。

原卷扫描 PDF（第 1 页）。题干、四个选项和方格位置已核对；图按原题位置重绘。

2024·江苏盐城·第 14 题：同一条绳索，两种量法

中国古代数学著作《增删算法统宗》中记载的“绳索量竿”问题，大意是：现有一根竿子和一条绳索，用绳索去量竿子，绳索比竿子长 5 尺；若将绳索对折去量竿子，绳索就比竿子短 5 尺．问绳索、竿子各有多长？该问题中的竿子长为______尺．

展开答案与说明

答案为 15。设竿长 x 尺，整条绳索长 x+5 尺；对折后，一半绳索长 x−5 尺。整条绳索是一半的两倍，所以 x+5=2(x−5)。展开得 x+5=2x−10，解得 x=15。

绳索长 20 尺，确实比 15 尺的竿子长 5 尺；对折成 10 尺，又比竿子短 5 尺。两条条件同时满足。最后一空问竿长，填 15，不能填绳长 20。

对应本页第 8、10 节：同一个字母始终表示同一个量；列式后用原来的两条条件分别检查。

原卷扫描 PDF（第 2 页）。题干已逐字核对；本题没有附图和选项。

2023·江西·第 8 题：保留科学记数法这一已会的部分

我国海洋经济复苏态势强劲．在建和新开工海上风电项目建设规模约1800万千瓦，比上一年同期翻一番，将18000000用科学记数法表示应为______．

展开答案与说明

答案为 1.8×10⁷。1.8 在 1 到 10 之间，乘 10⁷ 还原为 18000000。题目已经给出了 18000000，不要再次乘“万”。这题用来复查本卷第 2 题已经做对的知识。

原卷来源页 · 原卷第 2 页扫描图。题干已按原卷逐字核对；本题没有附图和选项。

其余专题的近五年对应真题尚未完成原卷核验，暂缓收录；先保留上面明确标为原创的同型练习。

复盘卡：每次只留下四句话

在纸上给本次没做对的检测写一张卡。不需要抄整段解析。

我写过什么： 抄出第一处不成立的等号，或错误的题意判断。
我漏了什么： 写具体内容，例如“−2² 的平方没包住负号”“把走过的路当成位置”。不要只写“粗心”。
现在为什么对： 用一句话说明依据，再算一道变式。
我怎么检查： 写一个能执行的动作，例如“代 t=0”“两方案分别代回”“把裂项第一项通分”。

若当时只是笔误，也要留下适合它的检查动作。若概念不会，就回到对应小节；把同一道答案抄三遍，不能替代解释。

次日、第 3 天、第 7 天：用纸笔再试

下面是复习安排，不会自动提醒。日期从你实际开始复盘的那天算。每次先遮住答案，保留完整过程；同一天看过答案的题，不能当作新的独立检测。

次日：先查运算的基础

计算 24+(−17)+17−4²。再分别写出 −4² 与 (−4)²。
已知 p−2q=3，求 10−4p+8q。
计算 −24÷(3/4−1/4)。解释为什么不能把括号拆成两个除法。
已知 a<b<0<c，化简 |a+b|−|c−a|。
说出 −2πxy² 的系数、次数；把 3x+−y 规范书写。

完成后核对次日答案

24+0−16=8；−4²=−16，(−4)²=16。
10−4(p−2q)=10−12=−2。
括号为 1/2，答案 −48。除数是整个 1/2；除以一个和不能分拆。
−a−b−(c−a)=−b−c。理由是 a+b<0、c−a>0。
系数 −2π，次数 3；3x−y。

每题除了答案，还要说出题目要求的理由。哪一题靠提示完成，就在对应小节再补一题，不给整页一概打“已掌握”。

第 3 天：查图形与题意能否分清

仍用第 6 题展开图。相对面的和是多少？x、y 各是多少？若 4 在后、2 在右，哪个数在下面？
长方形窗宽 4、高 6，两块遮光各为半径 2 的四分之一圆。求透光面积。
精品苹果买 80 千克，单价 20 元；普通苹果单价 5 元，总共需要 x 千克。方案一每买 1 千克精品送 0.5 千克普通；方案二全部九折。x>40，分别写付款式，再求同价时 x。
设 S=0.454545……。写出让循环部分相消的两行，再求最简分数。

完成后核对第 3 天答案

和为 14；x=12、y=8。指定朝向下，8 在上、6 在下。要同时说出三对相对面，不能只背数字。
整窗 24，遮光为 2×(1/4)×π×2²=2π，透光为 24−2π。
方案一送 40 千克，付款 1600+5(x−40)=1400+5x；方案二 0.9(1600+5x)=1440+4.5x。同价时 0.5x=40，x=80 千克；两者均付 1800 元。
100S=45.454545……，S=0.454545……；相减得 99S=45，S=5/11。

应用题要带单位，并说明 x 是普通苹果的总需要量。若解释不清“赠送量为何要减去”，回第 8 节重画付款表。

第 7 天：换数字、换间隔，再查能否迁移

化简 −2(3x²−xy)+3(2x²+xy−1)，再代 x=−1、y=2 求值。
计算 1/(4×8)+1/(8×12)+1/(12×16)。先通分验证你拆的第一项。
A表示−8，B表示16。M从B每秒向左走4个数轴单位，走到A停止。写位置式和时间范围，再按原题定义找出全部“二倍点”时间。
给家长解释下面两句话错在哪里：“字母只有一项就一定是单项式”；“第 12 题圈红了，所以孩子不会负数乘方”。

完成后核对第 7 天答案

化简得 5xy−3；xy=−2，所以值为 −13。检查 −2×(−xy)=2xy，以及 3×(−1)=−3。
每项是相邻倒数之差的 1/4。总和为 (1/4)×(1/4−1/16)=3/64。
位置为 16−4t，0≤t≤6。AB=24，二倍点的 BM 为 8、12、16，时间为 2、3、4 秒。3 秒的中点也满足整段是半段的两倍。
第一条用 3/x 反驳：字母在分母，不符合这里的单项式定义。第二条要回到作答证据：−2/2=−1，结果正确，只需化简；红圈本身不能说明错因。

第 2、3 题都必须解释为什么没有漏掉倍数或位置。只写最后数字，尚不足以核实方法。

什么时候可以说“这一个漏洞补上了”

对每个知识点分别检查：首次不借提示做对；能解释关键一步；换数字或改变一个条件仍能判断；隔几天再试仍正确。四项都留有证据，才把这一个点记为“目前能独立完成”。

如果同型题又错，不必把整卷重做。回到最早出错的那一行，重新分清是概念、题意、计算，还是书写。第 12、15 题提醒我们：复盘首先要判断准确，才能把练习用在真正需要的地方。