七年级数学周练：有理数与整式

答案：A，向东走20米。

先找题目用哪一个数表示哪一个方向。“向西走30米记作−30米”告诉我们：这里规定向西为负，与西相反的东为正。

为什么先看规定

“+”本身不固定表示东；它表示题目规定的正方向。已知西为负，才能由相反方向确定东为正。因此，+20中的“+”表示向东，20表示走20米。

• 方向： 先由−30米确定西为负，再由+20的正号确定向东。
• 路程： 20的绝对值是20，所以走20米。

换一个规定，还能照读吗

先自己判断：若改为“向东走30米记作−30米”，−7米表示什么？

表示向东走7米。因为新规定中向东为负，负数就沿东走。路程仍是7米，不能把旧规定的方向直接搬过来。

带走的关系：先读方向规定 → 用正负确定方向 → 用绝对值确定路程。同样适用于收入与支出、升高与降低等相反意义的量；具体哪一边为正，要看题目规定。

2023·云南·第1题：按给定方向读正负数

1. 中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家.若向东走60米记作+60米，则向西走80米可记作

A. −80米

B. 0米

C. 80米

D. 140米

先独立选择，再展开答案与理由

答案为A，−80米。已知向东为正，向西就是负方向；80米表示路程，所以记作−80米。

原卷PDF预览来源 · 第1页原卷图。已核对卷名、年份、题号、完整题干与四个选项；本题无附图。

答案：C，5.93×10¹³。 先换“万亿”这个单位，再检查首数是否符合要求。

第一步为什么先换单位

题目写的是59.3万亿，还不是59.3。先把它还原成普通数字，才知道原数到底有多大。

“万”是 $10^4$，“亿”是 $10^8$，所以1万亿是 $10^{12}$。

$$59.3\text{万亿}=59.3\times10^{12}=59\,300\,000\,000\,000$$

59.3变成5.93，为什么指数要加1

科学记数法写成 $a\times10^n$，这里的首数必须满足 $1\leq a<10$。把59.3改成5.93，首数缩小10倍，相应的10的幂就要增大10倍，数值才不变。

$$59.3\times10^{12}=(5.93\times10)\times10^{12}=5.93\times10^{13}$$

从59.3到5.93只移1位，所以指数在12上加1。若从完整数字59 300 000 000 000开始移动，才是共移13位。这两种计数的起点不同。

不只看数值，还要看写法

A的数值只有原数的1/10；B只有原数的1/100，首数0.593还小于1；D是原数的10倍。C既保持数值，又满足首数的范围。

先判断：59.3×10¹²与5.93×10¹³数值相同。能说两者都是科学记数法吗？

不能。两者数值相同，但59.3不小于10，不符合科学记数法的首数要求。5.93×10¹³才符合。

下次先圈单位，再查两件事：数值有没有变，首数是不是至少1而小于10。

2023·江西·第8题：原题已经给出完整数字

8. 我国海洋经济复苏态势强劲．在建和新开工海上风电项目建设规模约1800万千瓦，比上一年同期翻一番，将18000000用科学记数法表示应为______．

独立写好后，展开答案与理由

答案是1.8×10⁷。18000000 = 1.8×10000000，首数1.8符合范围，指数为7。题目已给出完整数字18000000，不能再乘一次“万”。

原卷第2页扫描图。题干与出处沿用项目已核验原卷；本题无选项、无附图。

答案：C，−(a−b)=−a+b。 先把括号内带符号的两项写清，再让每项都乘−1。

为什么想到乘−1

题目要去掉括号，但括号前的减号作用于整个a−b。取一个数的相反数，就是把它乘−1；整个式子的相反数也可以这样写。

先把a−b写成a+(−b)。这样能看清两项分别是a和−b，b前面的负号要跟着b。

再用已经学过的乘法分配律，把−1分别乘到这两项：

$$-(a-b)=(-1)\times a+(-1)\times(-b)=-a+b$$

−1乘a得到−a；−1乘−b得到+b。这里改变的是项前的符号，字母还是a、b。a、b本身取正数或负数，这个等式都成立；依据是分配律，不是只试几组数。

原题其余三项错在哪里

其余选项正确的变形分别是：

• A应为 $-(a+b)=-a-b$。
• B应为 $a-(b-c)=a-b+c$。
• D应为 $a+(b-c)=a+b-c$。

A漏掉了对a、b取相反数；B漏改了−c的符号；D的括号前是加号，−c应保留。

先自己展开：−(−a+b)。为什么第一项会变成+a？

结果是a−b。括号内两项是−a与+b，分别乘−1，得到+a与−b。先把带符号的项写清，就不会只看字母前有没有减号。

2022·湖北黄冈·第17题：负括号也会出现在整式求值中

先化简，再求值：4xy−2xy−(−3xy)，其中x=2，y=−1。

先独立做，再展开答案

−(−3xy)=+3xy，所以原式=(4−2+3)xy=5xy。代入x=2、y=−1，得到5×2×(−1)=−10。

这题核对括号前的负号；“括号内多项都要变号”还要用前面的−(−a+b)自测来检查。

原卷完整文本与预览来源。已按项目保存的原卷文本预览核对卷名、第17题全文及题目边界；本题无选项、无附图。

下次先圈出带符号的每一项，再让每一项乘括号前的数。减号去括号，就是每一项同乘−1。

答案：D，(+3)+(−6)。 摆法决定符号，根数决定大小；两组怎样连接，要用图①给的示范。

第一步先圈规定

本题规定正放表示正数、斜放表示负数。图①把正放2根、斜放2根写成(+2)+(−2)，还告诉我们：两组表示的数用加法连接。

因此，看到图②时，先分别指出正放的一组和斜放的一组，再数根数。这样符号和数量就不会混在一起。

图②中正放3根，表示+3；斜放6根，表示−6。两部分合起来，算式就是 $(+3)+(-6)$。

对照选项，D的两部分与图意一一对应。若继续计算，3+(−6)=−3；这个得数可以核对运算，完整算式还保留了两组各自表示的数。

根数没变，规定改变了呢

自编迁移题：另作规定，正放表示负数、斜放表示正数。图②仍是3根正放、6根斜放，应写什么算式？

应写(−3)+(+6)。因为新规定中，正放3根表示−3，斜放6根表示+6。根数和摆法都没变，改变的是它们代表的正负意义。

下次先读本题规定，再把“摆法、根数、表示的数”对起来；连接两个数的运算，也要从题目给的规则中找依据。

答案：A。 2x²y+3xy−4有三项，最高项的次数为3，所以是三次三项式。

先圈出每个选项问的是“系数”“次数”还是“几次几项”。需要先知道：b²=b×b，未写指数的x就是x¹。下面分别按定义检查。

A：项数数三项，次数取最高

先把减去4写成加上−4，再连着符号圈出三项：2x²y、3xy、−4。

项	字母指数之和	这一项的次数
2x²y	2+1	3
3xy	1+1	2
−4	没有字母，是非零常数	0

多项式的次数取化简后各项次数的最大值。本题没有可合并的同类项，最高是3，共三项，所以A正确。不能把3+2+0当成多项式的次数。

B：分母里的x不符合单项式结构

单项式是数与字母的积，字母的指数为非负整数；字母不能在分母里。单独的数或字母也属于单项式。

3/x的分母含有字母x，不是单项式。3x=3×x是单项式，3/x与3x的结构不同，因此B错误。

C：π是数，属于系数

题目问−5πab²的系数。为了找全数字因数，先展开乘积：

$-5\pi ab^2=(-5)\times\pi\times a\times b\times b$

π是圆周率，是一个确定的数。全部数字因数是−5与π，乘积为**−5π**，这就是系数，C漏掉了π。

a出现一次、b出现两次，字母指数之和是1+2=3。π是数，不增加字母次数；前面的负号也不增加次数。

D：x省略的指数是1

3x=3x¹。数字3属于系数，次数只看x的指数，所以次数是1，D错误。非零常数如−4的次数为0；零式不规定次数。

检查：把一个数换成字母，会改变什么

把−5πab²中的数π换成明确表示变量的字母c，得到−5cab²。系数、次数分别怎样改变？为什么？

先判断，再展开理由

系数变成−5；次数变成1+1+2=4。π原来属于数字因数，c现在属于字母因数，它的指数1要计入次数。a和b的指数保持不变。写成−5ab²c也表示同一个乘积。

带走的动作：先看所问 → 结构看字母位置 → 系数圈全部数字因数 → 单项式次数加字母指数 → 多项式次数取化简后的最高项。

中考真题：数字因数包含负号

2023·江西·第7题。 这道题直接检查单项式系数；π的归属及多项式次数仍由上面的原题与自测检查。

单项式 −5ab 的系数为________。

展开答案与理由

−5。因为−5ab=(−5)×a×b，全部数字因数的乘积为−5，负号不能丢。

出处：江西省2023年初中学业水平考试数学试题卷，第7题。已核对完整原卷第1页卷名与第2页题号、题干；本题无选项、无图。

答案：B，上面是8。 先折出相对面，算得x=12、y=8；再同时满足“2在右、4在后”，确定y在上面。

需要先分清：相对面隔着整个正方体，彼此不共边；“右、后、上”还取决于正方体怎样摆放。展开图在纸上的上下，不直接等于折好后的上下。

第一步：固定4，沿共边折起

题目给了展开图。先固定标有4的一格，沿它与相邻格的公共边把其余面折起，保持数字在外面。这样可以追踪每一格，判断谁和谁隔着正方体相对，不能只按纸上距离猜。

折好后有三对相对面：

• 4与10相对。
• 2与x相对。
• 6与y相对。

动画里六个面的大小保持，平面图保留原位，方便在折叠前后对照。也可按原图剪纸折一次；不要把标字的面翻到里面。

第二步：用已知的一对求共同的和

“相对面上的两个数字之和相等”是题目给的条件。4与10都已知，所以先用这一对算：4+10=14。于是另外两对也必须和为14：

$$2+x=14,\qquad 6+y=14$$

因此x=14−2=12，y=14−6=8。代回检查：2+12=14，6+8=14，都满足条件。

第三步：同时固定右面2与后面4

只算出x、y还不能直接说哪一个面在上面。把同一块正方体整体转到2在右、4在后，仍保持数字在外面，此时y在上、6在下。

题定方位	面上的数
右	2
左	x=12
后	4
前	10
上	y=8
下	6

这里画面从右后上方观察，能看到题定的右面、后面和上面。屏幕的左右不等于题目规定的左右。上面是y=8，选B。

检查：只换朝向，相对面会变吗

保持原来的六个数和相对关系，只改成4在右、2在后。上面还是8吗？先判断，再在探索中核对。

展开结果与理由

上面变成6，8在下面。整体转动没有改变哪两面相对，也没有改变每对的和14；改变的是各面所在方位。这说明“找相对面”与“按给定朝向定上下”都需要完成。

带走的动作：保留格子身份 → 沿共边折起 → 用相对面条件列式 → 同时满足给定的两个方位。

中考真题：从另一张展开图找相对面

2024·江苏盐城·第5题。 这题直接检查展开图中的相对面；本课“同时给右面和后面”的朝向判断由上面的原题与换朝向自测另查。

5. 正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种平面展开图，那么在原正方体中，与“盐”字所在面相对的面上的汉字是

A. 湿　　B. 地　　C. 之　　D. 都

展开答案与理由

C，之。把“之”固定为正面，“地”和“都”折成左右面，“盐”再从“都”向后折，成为背面。所以“盐”与“之”相对。

出处：盐城市二〇二四年初中毕业与升学考试数学试题，第1页。本次重新渲染并核对卷名、题干、四选项与全部方格位置。

答案：C，透光面积为2ab−(1/2)πb²。 全窗是长方形，上方两块四分之一圆遮光；留白面积用全窗减去两块装饰。

先在原图中圈出“留白透光”的部分，再标出完整长方形的高a、宽2b。图只示意形状，本题没有给出a、b的具体数值，所以结果用a、b表示。需要会长方形面积、整圆面积πb²，以及“四分之一”表示同半径整圆的四份之一。

为什么先求整个窗户

所求留白有弯曲边界，直接数边长不方便；完整的长方形与两块装饰却都能用熟悉的面积公式。它们拼在一起正好构成整个窗户，所以：

透光面积=整个长方形面积−左块装饰面积−右块装饰面积。

两个装饰分别在上方两角，只在上边中点接触，不重复占一块面积。它们的圆心都在上边的两个顶点，先保留这个位置关系核图。

全窗面积是高a乘宽2b

图中上边长是2b，右边长是a，所以：

$$S_{\text{全窗}}=a\times2b=2ab$$

这里b是半径，窗户整条宽为2b。不能在已经使用2b后，再多乘一次2。

两块半径相同，各占整圆的四分之一

题干说两个半径均为b。每块的面积都是：

$$S_{\text{一块}}=\frac14\pi b^2$$

因为半径相同，它们是同样大小的两个四分之一圆。把同一批两块移出原位，各转一个直角，圆心重合后可以拼成半圆。移动和旋转只改变位置，不改变面积。

因此两块合计：

$$S_{\text{装饰}}=\frac14\pi b^2+\frac14\pi b^2=\frac12\pi b^2$$

分母4表示每块占整圆四分之一；两块相加后是二分之一，不能按两个整圆计算。

回到原窗：从2ab中减去装饰

$$S_{\text{透光}}=2ab-\frac12\pi b^2$$

2ab对应整个长方形，(1/2)πb²对应两块遮光装饰，剩下的就是透光部分，所以选C。

要保持题图的装饰完整地放在窗内，需要b>0且a≥b。若a＜b，四分之一圆会伸到窗外，不能一边换成这种图，一边继续直接减去完整的两块面积。

检查：只增加窗高，哪一部分会变

用同一长度单位，保持b不变，把a增加1。透光面积增加多少？先说明装饰面积是否改变，再给结果。

展开结果与理由

两块装饰的半径b没有变，遮光面积仍是(1/2)πb²。窗户下方只多出宽2b、高1的长方形，面积是2b。因此透光面积增加2b。

也可用式子核对：2(a+1)b−(1/2)πb²，比2ab−(1/2)πb²多2b。这里保持b不变很关键；若连b也改变，就要重新计算装饰面积。

带走的动作：先认所求区域 → 选择完整图形 → 分别确认半径与份数 → 不重不漏地相减 → 条件变了再检查图形是否仍成立。

中考真题：半径与整圆份数一起看

2022·广东·第15题。 这题直接检查半径平方与四分之一整圆的面积；两块拼合、长方形相减及窗高变化由本课原题和自测另查。

扇形的半径为2，圆心角为90°，则该扇形的面积（结果保留π）为________。

展开答案与理由

π。90°占整圆360°的1/4，所以面积=(1/4)×π×2²=π。先把半径2平方，再乘整圆份数。

出处：2022年广东省中考数学试卷完整原卷重排预览。本次重新查看第1页卷名和第2页第15题完整文字及边界；本题无选项、无图，不把上下题的图算进来。

答案：C，结果为−a−c，也就是选项中的−c−a。 关键是先判断a+b、c−b的整体符号，去掉绝对值后，原式中间的减号仍要保留。

本课要能做到：从数轴读出符号，用“到0的距离”解释绝对值，再连着符号追踪每一项。需要先知道负数加负数仍为负，减去负数等于加上它的相反数，以及乘法分配律。

先读位置，不从间隔猜数值

从左到右依次是b、a、0、c，所以：

$$b<a<0<c$$

a、b都是负数，c是正数。图没有给三个数的具体值，不能根据画出的间隔给它们指定数值来代替证明。

判断每个绝对值里面的整体

里面的式子	已知条件怎样起作用	整体符号
a+b	a、b都负，两个负数相加仍负	a+b＜0
c−b	c正；b负，所以−b正；c−b=c+(−b)	c−b＞0

这里−b表示b的相反数。因为b＜0，−b反而大于0。a+b虽然写着加号，它的值却为负；要看整个式子的值，不能只看写出的运算符号。

按到0的距离去掉绝对值

负数a+b到0的距离，是它的相反数；正数c−b到0的距离，就是c−b。因此：

$$|a+b|=-(a+b),\qquad |c-b|=c-b$$

再放回原式。原式用一个距离减去另一个距离，中间是减号：

$$|a+b|-|c-b|=-(a+b)-(c-b)$$

两个绝对值都非负，不代表它们的差也必须非负。先保留减法，再继续去括号。

减去c−b，要让c与−b各乘−1

第一个括号给出−a−b。第二个括号前也有减号：

$$-(c-b)=(-1)\times(c+(-b))=-c+b$$

等值写法：−1×(c−b)

−1乘c得到−c，−1乘−b得到+b，所以四个带号项是**−a、−b、−c、+b**。

$$-(a+b)-(c-b)=-a-b-c+b=-a-c$$

四个带号项：−a−b−c+b。

−b与+b相加等于0；剩下−a与−c。两个加数交换次序不改变和，−a−c与选项C的−c−a相同。

检查：哪些条件真正决定了推理

若只知道a＜0、b＜0、c＞0，没有告诉a与b谁小，还能用同样的方法吗？最终差一定非负吗？

先解释，再展开核对

仍能化简成−a−c。因为a、b都负已经保证a+b＜0；c正、b负保证c−b＞0。这两条理由没有用到a与b谁更小。

差不一定非负。例如自拟a=−2、b=−4、c=3，符合原图顺序，原式是6−7=−1。a=−2、c=2时差为0；a=−2、c=1时差为1，b仍可取−4。数值例子用于检查差的符号，前面的符号推理才说明一般结论。

带走的动作：读条件 → 判里面整体符号 → 用距离定义改写 → 保留原式运算 → 逐项去括号并合并。

答案：2/7。 先求|−7/2|=7/2，再找与7/2相乘得1的数。

先圈出绝对值符号：题目求的是“|−7/2|的倒数”。需要知道绝对值表示到0的距离，互为倒数的两个数乘积为1。

先求绝对值：距离不带负号

−7/2在数轴0的左边，到0的距离为7/2，所以：

$$|-7/2|=7/2$$

这里得到的是7/2。绝对值与倒数是两种运算，先把绝对值的结果单独写一行，下一步对7/2求倒数。

再求倒数：交换分子、分母，并用乘积解释

7/2的分子是7，分母是2。把2放分子、7放分母，得到2/7。

绝对值的结果：7/2。现在求这个数的倒数。

为什么这样交换就对？

$$(7/2)\times(2/7)=(7\times2)/(2\times7)=1$$

分子与分母都是同样两个非零因数7、2的乘积，所以可约成1。对一般非零分数，交换后也有同样的乘积关系。因此2/7符合倒数定义。

原数−7/2本身的倒数是−2/7；本题先取了绝对值，所以答案为正的2/7。要读清正在对哪个数做哪一步。

检查：0能否照样交换

|0|等于多少？它的倒数存在吗？用“乘积为1”的定义解释。

展开结果与理由

|0|=0，因为0到原点的距离为0。0没有倒数：它乘任何数都等于0，不可能等于1。不能把1/0当成一个数。

带走的动作：先圈运算对象 → 写出绝对值 → 对非零结果求倒数 → 用乘积为1核对。 对0，停在“没有倒数”。

答案：445克。 按本题标注约定，450克是标称值，5克是允许向上或向下偏离的大小。“最少”读下限。

先以450为基准，找两端

450−5表示比标称值少5克，450+5表示比标称值多5克。两个端点分别是445克、455克。

这不是“只能重445克或455克”。两端之间的重量都在范围内，端点也包含在内，例如446克、450克、454克。

445≤净重≤455（克）。

为什么最少要减

数轴越往左，重量越小。允许范围的最左端是450−5=445（克）；再少就超出下限。

如果改问“最多”，才读右端450+5=455（克）。一般关系是：下限=标称值−允许偏差，上限=标称值+允许偏差。这里讨论对称偏差且下限非负的重量范围。

先自己判断：445克、444克、455克、456克，哪些在范围内？允许偏差为0又怎样？

445克、455克在范围内，因为端点包含。444克低于下限，456克高于上限，均超出范围。允许偏差为0时，上下限都等于标称值，只剩一个重量。

2023·云南·第1题：正负表示相反意义

这道真题核对“先读规定，再读正负”这一知识点；净重的连续范围由上面的主例题和理解检查核对。

1. 中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家.若向东走60米记作+60米，则向西走80米可记作

A. −80米

B. 0米

C. 80米

D. 140米

先独立选择，再展开答案与理由

答案为A，−80米。题目规定向东为正，向西就是负方向，80米表示路程。

原卷预览来源。本项目已逐字核对2023云南原卷第1页的题干和四个选项；此题无附图。

答案：−3。 已知x−3y的整体值；所求中的−2x、+6y恰好分别是x、−3y的−2倍。

为什么想到圈住x−3y

已知只给一个等式，不能由此分别确定x、y。先比较所求与已知中相同字母项的系数：

• x的系数从1变成−2，是乘−2。
• y的系数从−3变成+6，也乘−2。

两项用了同一个倍数，便可反过来用分配律，把−2提到括号外：

$$-2x+6y=-2(x-3y)$$

乘回去核对：−2×x=−2x，−2×(−3y)=+6y。括号外的7没有参与这次提取，仍要保留。

只替换整个括号，倍数保留

用已知值5替换x−3y。7加上−2乘整体，也可以按加法交换律写成−2乘整体，再加7。

$$7-2x+6y=7+(-2)(x-3y)=7+(-2)\times5=7-10=-3$$

“7减去负2乘整体”会写成7−(−2)×5，符号就变了。本题应是7加上−2乘整体，即7−2×5。

这两组数只用于核对。一般理由是分配律恒等式，且x−3y的整体值固定为5；只要满足已知等式，结论都成立。

先判断：只把所求中的+6y改成+5y，还能照用整体代入吗？

不能直接照用同一个倍数。7−2x+5y=7−2(x−3y)−y=−3−y，还剩y。取x=5、y=0时所求为−3；取x=8、y=1时所求为−4。两组都满足x−3y=5，所求却不同，因此这组条件不能唯一确定变式的值。

带走的方法：比较每种字母项的系数 → 核对同一倍数 → 用分配律改写 → 把整个括号替换为已知值。倍数、括号外的常数和未消去的字母项都不能丢。

2025·江苏苏州·第11题：把已知关系改写成整体

11. 若 $y=x+1$，则代数式 $2y-2x+3$ 的值为______．

先独立求值，再展开答案与理由

答案为5。由y=x+1得y−x=1，所以2y−2x+3=2(y−x)+3=2×1+3=5。也可把x+1代入y再去括号，得到相同结果。

完整原卷扫描转载 · 第2页题11。已核对卷名、年份、题号、完整题干；无选项、无附图。来源核验记录见项目真题文档。

答案：−1。 两条支路先各自计算，再把结果相加，最后乘二分之一。

第一步：沿每条箭头，圈清乘方的底数

从输入x和输入y各画一条向下的路线：x进入平方框，y进入立方框。平方表示两个相同因数相乘，立方表示三个相同因数相乘。

本题x=−5，整个−5都是底数；y=−3，整个−3都是底数。因此要把负数括起来：

$$x^2=(-5)^2=(-5)\times(-5)=25$$ $$y^3=(-3)^3=(-3)\times(-3)\times(-3)=-27$$

平方这一支的两个负因数相乘为正。立方这一支先有两个负因数相乘为正，再乘一个负因数，所以为负。

第二步：两个结果先相加，再减半

相加框接收的是25与−27，得到25+(−27)=−2。下一框接收这个−2，再乘1/2：

$$\frac12(x^2+y^3)=\frac12[25+(-27)]=\frac12\times(-2)=-1$$

每个框只使用箭头送来的结果。乘二分之一针对的是两条支路的和，所以写成(1/2)(x²+y³)，括号不能漏。

−2/2与−1数值相同；最终答案写成化简后的−1。

换条件，检查你是否仍按同一规则走

先独立判断：只把x改成+5，或只把y改成+3，输出各是多少？若x=2、y=−1呢？

只改x：(+5)²=25，y³仍是−27，所以输出仍为−1。只改y：x²仍为25，(+3)³=27，输出(25+27)/2=26。取x=2、y=−1：两支为4与−1，和为3，输出3/2；输出不必是整数。

可迁移的方法是：辨认每条输入支路 → 按框中运算分别计算 → 在汇合处合成 → 顺着后续箭头继续。每改一个输入，都重新计算它后面的结果。

2023·江西·第4题：乘方表示相同因数相乘

计算 $(2m^2)^3$ 的结果为（　　）。

A. $8m^6$　　B. $6m^6$　　C. $2m^6$　　D. $2m^5$

先展开三个相同因数，再核对答案

答案为A。这里m表示一个数。(2m²)³=(2m²)×(2m²)×(2m²)。三个2相乘得8，六个m相乘记作m⁶，所以为8m⁶。这道真题直接检查“整个括号作底数”和相同因数个数；本课的双输入流程由主例题与理解检查核对。

完整原卷预览来源 · 第1页原卷图。本项目已核对2023江西卷名、题号、完整题干与四选项；原题无附图。

答案：$\frac{41}{111}$。 本题循环块为369，移出完整的3位循环块后，两行小数尾巴相同，便可相减消去。

先读清循环点，再决定乘多少

点标在3和9上，表示从3到9的整块369一起重复，中间的6也在循环块中。这是0.369369369……，不是只有3和9交替。

原题示范用S表示0.363636……；下面另用大写T表示本题的0.369369369……。要消去无限的小数尾巴，第一步可以做什么？

先把369圈成一组，数出3位。乘1000会移出完整一组，小数点后的部分又从369开始。这样两行就能对齐。

$$T=0.369369369\ldots,\qquad1000T=369.369369369\ldots$$

通常说“小数点右移3位”。动画固定小数点列，让同一批数字向左跨过3个位值，表示每个数字的位值扩大1000倍。这两种观察方式表示同一次乘1000。

为什么能消去整条无限尾巴

两行从小数点后都按369、369、369……重复。因此每一个对应小数位都相同，包括没有画出来的所有位。这是循环定义给出的关系，不是只看几组数字猜后面相同。

两行相减：相同的小数部分相减为0，整数部分为369−0；左边把1000份T减去1份T，剩999份T：

$$1000T-T=369,\qquad(1000-1)T=999T=369$$

乘数是1000；999是相减后才得到的系数。不能把第一步写成999T−T，否则左边会成998T，已经换了问题。

约分前后保持同一个数

$$T=\frac{369}{999}=\frac{369\div9}{999\div9}=\frac{41}{111}$$

分子分母都除以同一个非零数9，分数值不变。代回核对：999×(41/111)=9×41=369。

换一个循环块，关系仍成立吗

k表示循环块的位数，A表示这串数字作为整数时的值。移动完整一块后，10ᵏT=A+T，所以(10ᵏ−1)T=A。k至少为1，分母10ᵏ−1不为0，因此纯循环小数能写成整数之比，是有理数。

前导0也占位。例如循环块045有3位，A=45，但仍乘1000；不能把乘数误改为100。若小数点后先有不循环的数字，再开始循环，就不能直接套这个纯循环公式。

先自己写：0.272727……、0.045045……分别怎样化分数？0.999……呢？

27循环：100T−T=27，T=27/99=3/11。045循环：1000T−T=45，T=45/999=5/111。9循环：10T−T=9，9T=9，T=1，所以0.999……与1是同一个数的两种写法。这里分别给每个例子重新设T。

这份方法的范围是从小数点后立即循环的小数。核心动作是：圈出完整循环块 → 按位数乘10的相应次方 → 对齐相同尾巴相减 → 用整数比并约分。有限小数也能写成整数之比；不能把本题结论扩展成“所有无限小数都是有理数”。

2025·江苏苏州·第11题：消去完全相同的字母部分

11. 若 $y=x+1$，则代数式 $2y-2x+3$ 的值为______．

先代入y=x+1，再看哪些部分相减为0

答案为5。把y换成x+1，得到2(x+1)−2x+3=2x+2−2x+3。相同的2x与−2x相加为0，留下2+3=5。一般的关系是(A+U)−U=A；本题循环小数中，共同的小数尾巴也充当这样一个整体U。这道真题直接检查相同部分的消元，不把它称为循环小数化分数原题。

完整原卷扫描转载 · 第2页题11。复用已核验的完整题干，原题无选项、无附图；周期位数与无限尾巴关系由本课主例题检查。

答案：

• （1）$\frac1n-\frac1{n+1}$。
• （2）① $\frac{2021}{2022}$；② $\frac n{n+1}$。
• （3）$\frac{505}{2022}$。

这里要用到通分、分配律，以及“互为相反数的两个数相加等于0”。比如正1/2与负1/2配成0；不能只因为两个分数相邻就把它们删掉。

（1）用通分说明为什么能拆

原式分母是 n(n + 1)。尝试将 $\frac1n$ 与 $\frac1{n+1}$ 相减：

$$\frac1n-\frac1{n+1}=\frac{n+1-n}{n(n+1)}=\frac1{n(n+1)}.$$

因此：

$$\boxed{\frac1{n(n+1)}=\frac1n-\frac1{n+1}}.$$

这不是只用几个数字猜出来的规律；通分说明了每个正整数 n 都满足这个等式。

（2）① 先把材料中的四项完整对应起来

每个原项拆成两个带号加数。下面完整保留四个原项和拆出的八个加数，行号告诉你它们来自哪里；相同配对标记表示一正一负相加成0。

每行先看原乘积，再看拆开的正项、负项。卡片上的符号属于这一张卡；连线表示两张相反数卡相加为0。

最后保留2张卡：+1　−1/5。

卡片的和=4/5；原式的和相同。

原式的和=4/5。

第1行的−1/2与第2行的+1/2配成0；第2行的−1/3与第3行的+1/3配成0；第3行的−1/4与第4行的+1/4配成0。八个加数中，六个进入这三对，留下第1行的1和第4行的−1/5：

图上的配对不是把某个原项整行删除。例如第2行的+1/2配完后，同一行的−1/3还要去找下一行的+1/3。每个带号加数恰好使用一次。

推到2021项，省略的中间为什么也能抵消

$$\begin{aligned}&\frac1{1\times2}+\frac1{2\times3}+\cdots+\frac1{2021\times2022}\\&=\left(1-\frac12\right)+\left(\frac12-\frac13\right)+\cdots+\left(\frac1{2021}-\frac1{2022}\right)\\&=1-\frac1{2022}=\boxed{\frac{2021}{2022}}.\end{aligned}$$

原式的第一个因数从1连续增加到2021，所以共有2021项。用j表示2到2021之间任意一个中间分母：

• 第j−1个原项拆出负1/j；
• 第j个原项拆出正1/j。

每个中间分母都恰好出现这一正一负；原项连续完整，任何一对都没有缺失。这说明所有中间项都能配成0，不只是图中画出的几对。

共有2020对，使用拆出的4042个加数中的4040个。最前面的1没有−1作伙伴，最后的−1/2022也没有+1/2022作伙伴，因此只留下这两个。2021是最后一项的第一个因数，最后留下的负分数却是−1/2022。

（2）② 字母代表的是哪个端点

最后一项是 $\frac1{n(n+1)}$，拆开后是 $\frac1n-\frac1{n+1}$。

因此，抵消后留下的负分数是 −1/(n + 1)，不是 −1/n：

$$\frac1{1\times2}+\cdots+\frac1{n(n+1)}=1-\frac1{n+1}=\boxed{\frac n{n+1}}.$$

这里n表示最后一项的第一个因数；因为从1开始连续排列，它也恰好是原项的总数。中间分母2到n各有一正一负，共n−1对，理由与上面相同。

代n=1检查：只有一项1/(1×2)=1/2，没有任何中间配对；公式也给出1/(1+1)=1/2。

（3）间隔从 1 变成 2，为什么要乘 1/2

先拿第一项试一试：

$$\frac12-\frac14=\frac14,\qquad \frac1{2\times4}=\frac18.$$

直接相减的结果是原项的两倍，所以要再乘 1/2。用字母核验：

$$\frac1k-\frac1{k+2}=\frac{k+2-k}{k(k+2)}=\frac2{k(k+2)}.$$

因此本题每一项都可以写成：

$$\frac1{k(k+2)}=\frac12\left(\frac1k-\frac1{k+2}\right).$$

把它用于 k = 2、4、6、……、2020：

这里k每次增加2，最后的2020不是项数。2、4、6、……、2020共有2020÷2=1010个数，所以原和式共有1010项，最后一个分母因数是2022。

$$\begin{aligned}&\frac1{2\times4}+\frac1{4\times6}+\cdots+\frac1{2020\times2022}\\&=\frac12\left[\left(\frac12-\frac14\right)+\left(\frac14-\frac16\right)+\cdots+\left(\frac1{2020}-\frac1{2022}\right)\right]\\&=\frac12\left(\frac12-\frac1{2022}\right)\\&=\frac12\times\frac{1010}{2022}=\boxed{\frac{505}{2022}}.\end{aligned}$$

中间的偶数分母4、6、……、2020，每一个都在前一项的负分数、后一项的正分数中各出现一次，共1009对。括号里只剩1/2与−1/2022，括号外的1/2仍要乘上，不能丢掉。

检查条件：少一项，还能只留两端吗？

从刚才的四项中删去第三项1/(3×4)，其余三项不变。先说出哪些分数失去伙伴，再求和。

展开缺项后的配对与答案

剩下的原项拆开为：

$$\left(1-\frac12\right)+\left(\frac12-\frac13\right)+\left(\frac14-\frac15\right).$$

只有负1/2与正1/2还能配成0。删去第三个原项，同时删去了它拆出的正1/3与负1/4；于是负1/3和正1/4各自失去伙伴，也必须留下。

$$1-\frac13+\frac14-\frac15=\frac{60-20+15-12}{60}=\frac{43}{60}.$$

独立核对：完整四项的和为4/5，删掉的原项为1/12，所以新和是4/5−1/12=43/60。它不再等于只算两端得到的4/5。

**迁移要点：圈共用分母 → 通分证明单项改写 → 带着正负号逐项配对 → 保留没有伙伴的全部加数。**连续完整排列时，中间都有伙伴才只留两端；改变间隔、起点、末项或删去一项，都要重新核对。

2022·浙江舟山·第19题：证明同一个拆项关系

这道原题要求先观察等式，再用通分说明一般关系。它直接检查本课拆项恒等式的依据；原卷并没有要求计算上面的2021项长和式。

观察下面的等式：

（1）按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）

（2）请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的．

展开真题答案与通分理由

（1）用n表示左边分数的分母，可以写成：

$$\frac1n=\frac1{n+1}+\frac1{n(n+1)}\qquad(n\text{为正整数}).$$

原题列出的第一式对应n=2；n不是等式的编号。这个结论在n=1时也成立。

（2）将右边通分：

$$\frac1{n+1}+\frac1{n(n+1)}=\frac{n+1}{n(n+1)}=\frac1n.$$

n为正整数，n与n+1都不为0，通分和约分成立。等式两边同时减去1/(n+1)，就得到本课用的1/[n(n+1)]=1/n−1/(n+1)。这是同一个关系的两种写法。

出处：2022中考原卷下载页。已核对下载文件题头“2022年浙江省舟山市中考试卷”及第19题的三条等式、两个小问；此题无选项、无附图。来源为原卷Word版本。