裂项求和：看清分母间隔与最后端点

题目

（2 + 2 + 2 + 3 分）阅读与思考。

请阅读下列材料，并完成相应的任务。

同学们学过有理数减法可以转化为有理数加法来运算，有理数除法可以转化为有理数乘法来运算。其实这种转化的数学方法，在学习数学时会经常用到，通过转化我们可以把一个复杂问题转化为一个简单问题来解决。例如：计算

$$\frac1{1\times2}+\frac1{2\times3}+\frac1{3\times4}+\frac1{4\times5}.$$

此题我们按照常规的运算方法计算比较复杂，但如果采用下面的方法把乘法转化为减法后计算就变得非常简单。分析方法：因为

$$\begin{aligned}\frac1{1\times2}&=1-\frac12,\qquad \frac1{2\times3}=\frac12-\frac13,\\\frac1{3\times4}&=\frac13-\frac14,\qquad \frac1{4\times5}=\frac14-\frac15,\end{aligned}$$

所以，将以上 4 个等式两边分别相加即可得到结果，解法如下：

$$\begin{aligned}&\frac1{1\times2}+\frac1{2\times3}+\frac1{3\times4}+\frac1{4\times5}\\&=\left(1-\frac12\right)+\left(\frac12-\frac13\right)+\left(\frac13-\frac14\right)+\left(\frac14-\frac15\right)\\&=1-\frac12+\frac12-\frac13+\frac13-\frac14+\frac14-\frac15\\&=1-\frac15=\frac45.\end{aligned}$$

任务：

（1）猜想并写出：$\frac1{n(n+1)}=$ ______（n 为正整数）。

（2）①应用上面的方法计算：

$$\frac1{1\times2}+\frac1{2\times3}+\frac1{3\times4}+\frac1{4\times5}+\cdots+\frac1{2021\times2022}.$$

②直接写出下列式子的计算结果：

$$\frac1{1\times2}+\frac1{2\times3}+\frac1{3\times4}+\cdots+\frac1{n(n+1)}=$$

______。

（3）类比应用上面的方法探究并计算：

$$\frac1{2\times4}+\frac1{4\times6}+\frac1{6\times8}+\cdots+\frac1{2020\times2022}.$$

答案：

• （1）$\frac1n-\frac1{n+1}$。
• （2）① $\frac{2021}{2022}$；② $\frac n{n+1}$。
• （3）$\frac{505}{2022}$。

这里要用到通分、分配律，以及“互为相反数的两个数相加等于0”。比如正1/2与负1/2配成0；不能只因为两个分数相邻就把它们删掉。

（1）用通分说明为什么能拆

原式分母是 n(n + 1)。尝试将 $\frac1n$ 与 $\frac1{n+1}$ 相减：

$$\frac1n-\frac1{n+1}=\frac{n+1-n}{n(n+1)}=\frac1{n(n+1)}.$$

因此：

$$\boxed{\frac1{n(n+1)}=\frac1n-\frac1{n+1}}.$$

这不是只用几个数字猜出来的规律；通分说明了每个正整数 n 都满足这个等式。

（2）① 先把材料中的四项完整对应起来

每个原项拆成两个带号加数。下面完整保留四个原项和拆出的八个加数，行号告诉你它们来自哪里；相同配对标记表示一正一负相加成0。

每行先看原乘积，再看拆开的正项、负项。卡片上的符号属于这一张卡；连线表示两张相反数卡相加为0。

最后保留2张卡：+1　−1/5。

卡片的和=4/5；原式的和相同。

原式的和=4/5。

第1行的−1/2与第2行的+1/2配成0；第2行的−1/3与第3行的+1/3配成0；第3行的−1/4与第4行的+1/4配成0。八个加数中，六个进入这三对，留下第1行的1和第4行的−1/5：

图上的配对不是把某个原项整行删除。例如第2行的+1/2配完后，同一行的−1/3还要去找下一行的+1/3。每个带号加数恰好使用一次。

推到2021项，省略的中间为什么也能抵消

$$\begin{aligned}&\frac1{1\times2}+\frac1{2\times3}+\cdots+\frac1{2021\times2022}\\&=\left(1-\frac12\right)+\left(\frac12-\frac13\right)+\cdots+\left(\frac1{2021}-\frac1{2022}\right)\\&=1-\frac1{2022}=\boxed{\frac{2021}{2022}}.\end{aligned}$$

原式的第一个因数从1连续增加到2021，所以共有2021项。用j表示2到2021之间任意一个中间分母：

• 第j−1个原项拆出负1/j；
• 第j个原项拆出正1/j。

每个中间分母都恰好出现这一正一负；原项连续完整，任何一对都没有缺失。这说明所有中间项都能配成0，不只是图中画出的几对。

共有2020对，使用拆出的4042个加数中的4040个。最前面的1没有−1作伙伴，最后的−1/2022也没有+1/2022作伙伴，因此只留下这两个。2021是最后一项的第一个因数，最后留下的负分数却是−1/2022。

（2）② 字母代表的是哪个端点

最后一项是 $\frac1{n(n+1)}$，拆开后是 $\frac1n-\frac1{n+1}$。

因此，抵消后留下的负分数是 −1/(n + 1)，不是 −1/n：

$$\frac1{1\times2}+\cdots+\frac1{n(n+1)}=1-\frac1{n+1}=\boxed{\frac n{n+1}}.$$

这里n表示最后一项的第一个因数；因为从1开始连续排列，它也恰好是原项的总数。中间分母2到n各有一正一负，共n−1对，理由与上面相同。

代n=1检查：只有一项1/(1×2)=1/2，没有任何中间配对；公式也给出1/(1+1)=1/2。

（3）间隔从 1 变成 2，为什么要乘 1/2

先拿第一项试一试：

$$\frac12-\frac14=\frac14,\qquad \frac1{2\times4}=\frac18.$$

直接相减的结果是原项的两倍，所以要再乘 1/2。用字母核验：

$$\frac1k-\frac1{k+2}=\frac{k+2-k}{k(k+2)}=\frac2{k(k+2)}.$$

因此本题每一项都可以写成：

$$\frac1{k(k+2)}=\frac12\left(\frac1k-\frac1{k+2}\right).$$

把它用于 k = 2、4、6、……、2020：

这里k每次增加2，最后的2020不是项数。2、4、6、……、2020共有2020÷2=1010个数，所以原和式共有1010项，最后一个分母因数是2022。

$$\begin{aligned}&\frac1{2\times4}+\frac1{4\times6}+\cdots+\frac1{2020\times2022}\\&=\frac12\left[\left(\frac12-\frac14\right)+\left(\frac14-\frac16\right)+\cdots+\left(\frac1{2020}-\frac1{2022}\right)\right]\\&=\frac12\left(\frac12-\frac1{2022}\right)\\&=\frac12\times\frac{1010}{2022}=\boxed{\frac{505}{2022}}.\end{aligned}$$

中间的偶数分母4、6、……、2020，每一个都在前一项的负分数、后一项的正分数中各出现一次，共1009对。括号里只剩1/2与−1/2022，括号外的1/2仍要乘上，不能丢掉。

检查条件：少一项，还能只留两端吗？

从刚才的四项中删去第三项1/(3×4)，其余三项不变。先说出哪些分数失去伙伴，再求和。

展开缺项后的配对与答案

剩下的原项拆开为：

$$\left(1-\frac12\right)+\left(\frac12-\frac13\right)+\left(\frac14-\frac15\right).$$

只有负1/2与正1/2还能配成0。删去第三个原项，同时删去了它拆出的正1/3与负1/4；于是负1/3和正1/4各自失去伙伴，也必须留下。

$$1-\frac13+\frac14-\frac15=\frac{60-20+15-12}{60}=\frac{43}{60}.$$

独立核对：完整四项的和为4/5，删掉的原项为1/12，所以新和是4/5−1/12=43/60。它不再等于只算两端得到的4/5。

**迁移要点：圈共用分母 → 通分证明单项改写 → 带着正负号逐项配对 → 保留没有伙伴的全部加数。**连续完整排列时，中间都有伙伴才只留两端；改变间隔、起点、末项或删去一项，都要重新核对。

2022·浙江舟山·第19题：证明同一个拆项关系

这道原题要求先观察等式，再用通分说明一般关系。它直接检查本课拆项恒等式的依据；原卷并没有要求计算上面的2021项长和式。

观察下面的等式：

（1）按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）

（2）请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的．

展开真题答案与通分理由

（1）用n表示左边分数的分母，可以写成：

$$\frac1n=\frac1{n+1}+\frac1{n(n+1)}\qquad(n\text{为正整数}).$$

原题列出的第一式对应n=2；n不是等式的编号。这个结论在n=1时也成立。

（2）将右边通分：

$$\frac1{n+1}+\frac1{n(n+1)}=\frac{n+1}{n(n+1)}=\frac1n.$$

n为正整数，n与n+1都不为0，通分和约分成立。等式两边同时减去1/(n+1)，就得到本课用的1/[n(n+1)]=1/n−1/(n+1)。这是同一个关系的两种写法。

出处：2022中考原卷下载页。已核对下载文件题头“2022年浙江省舟山市中考试卷”及第19题的三条等式、两个小问；此题无选项、无附图。来源为原卷Word版本。