苹果优惠：总需求与需要付费的数量｜七年级数学周练：有理数与整式第 18 题

题目

题号说明：原卷此题再次印为第 17 题，本页按顺序记为第 18 题。

（4 + 4 分）某商场正在热销两种苹果，精品苹果每千克定价 20 元，普通苹果每千克定价 5 元，店庆期间商场决定开展促销活动，活动方案如下：

方案一	方案二
顾客购买 1 千克精品苹果送 0.5 千克普通苹果	顾客购买精品苹果和普通苹果都按定价的 90% 付款

现某公司为回馈员工，要到该商场购买精品苹果 200 千克，普通苹果 x 千克（ $x>100$ ，且只能选择一种方案购买）。

（1）用含 x 的代数式分别表示该公司选择方案一和方案二购买时所需的钱数。（结果化成最简形式）

（2）若该公司选择方案一和方案二购买时的付款相同，求该公司购买了多少千克普通苹果？

答案：（1）方案一为（5x + 3500）元，方案二为（4.5x + 3600）元；（2）普通苹果为 200 千克。

购买 200 千克精品苹果，赠送的普通苹果为：

200\times0.5=100\;\text{千克}.

公司一共需要 x 千克普通苹果，其中 100 千克免费，所以只需另付费购买 x − 100 千克。

苹果	单价	收费数量	费用
精品苹果	20 元/千克	200 千克	4000 元
普通苹果	5 元/千克	x − 100 千克	5(x − 100) 元

200\times20+5(x-100)=4000+5x-500=\boxed{5x+3500}\;\text{元}.

原题要求 x 大于 100，正好保证赠品还不够，公司需要另买普通苹果。

原价总费用为 200 × 20 + 5x。全部按 90% 付款，就是将总价乘 0.9：

0.9(200\times20+5x)=\boxed{3600+4.5x}\;\text{元}.

也可以先算九折后的单价：精品 18 元/千克，普通 4.5 元/千克，再算 200 × 18 + 4.5x，结果相同。

比较两个已经化简的费用：

5x+3500=4.5x+3600.

左边的 x 项比右边多 0.5x，常数项比右边少 100。要让两边相同，就要使这两部分恰好抵消：

0.5x=100,\qquad x=100\div0.5=\boxed{200}.

也可以把每次相同的操作写清楚：两边同减4.5x，再同减3500，最后同除以非零数0.5。

\begin{aligned}5x+3500&=4.5x+3600\\(5-4.5)x+3500&=3600\\0.5x&=100\\x&=200.\end{aligned}

所以，公司购买普通苹果 200 千克。

两种费用相同，且 200 大于 100，符合原题限制。

迁移要点：总需求、免费数量、收费数量是不同的量；列费用前，先说明每个数量指什么。

换条件：普通每千克4元，方案一赠80千克，方案二按88%付款，还能找到相同付款量吗？

仍要求普通总需求超过赠品，即x>80。两式为4x+3680和3.52x+3520。令它们相等，得到0.48x=−160，x=−1000/3，不满足范围，所以没有符合要求的购买数量。这里减去的顺序必须保留，不能把负数改成正数。

也可比较差额：方案一减方案二为0.48x+160。只要x>80，这个差为正，说明方案二一直更便宜。

检查理由：如果既不赠送，也不打折，会只有一个相同付款量吗？

不会。两种费用式完全相同，在要求的范围内，任意数量的付款都相等。等式可能只有一个合格解、没有合格解，也可能整个范围都成立，要由具体条件判断。

中国古代数学著作《增删算法统宗》中记载的“绳索量竿”问题，大意是：现有一根竿子和一条绳索，用绳索去量竿子，绳索比竿子长5尺；若将绳索对折去量竿子，绳索就比竿子短5尺．问绳索、竿子各有多长？该问题中的竿子长为______尺．

先列出两条关系，再展开答案

填15。设竿长x尺，绳长就是x+5尺。对折后绳长为(x+5)/2尺，同时它比竿短5尺，所以(x+5)/2=x−5。两边乘2，得x+5=2x−10，解得x=15。绳长20尺，对折10尺，两个“相差5尺”都满足。

本题检查从文字建立等量关系：两条条件必须同时成立。它没有赠送或折扣条件，这部分仍要回到苹果主例中说明每个收费数量。

原卷来源与逐字核验记录：项目已核验的盐城2024数学原卷。无附图、无选项，最后一空填写的是竿长。