从窗户总面积中减去四分之一圆遮光面积

题目

长方形窗户上的装饰物（遮光）如图中阴影部分所示，它是由两个半径均为b的四分之一圆组成，则该窗户能射进阳光部分的面积是（　）。

• A. $\frac{\pi}{2}b^2$
• B. $2ab-\pi b^2$
• C. $2ab-\frac{\pi}{2}b^2$
• D. $2ab-\frac{\pi}{4}b^2$

答案：C，透光面积为2ab−(1/2)πb²。 全窗是长方形，上方两块四分之一圆遮光；留白面积用全窗减去两块装饰。

先在原图中圈出“留白透光”的部分，再标出完整长方形的高a、宽2b。图只示意形状，本题没有给出a、b的具体数值，所以结果用a、b表示。需要会长方形面积、整圆面积πb²，以及“四分之一”表示同半径整圆的四份之一。

为什么先求整个窗户

所求留白有弯曲边界，直接数边长不方便；完整的长方形与两块装饰却都能用熟悉的面积公式。它们拼在一起正好构成整个窗户，所以：

透光面积=整个长方形面积−左块装饰面积−右块装饰面积。

两个装饰分别在上方两角，只在上边中点接触，不重复占一块面积。它们的圆心都在上边的两个顶点，先保留这个位置关系核图。

全窗面积是高a乘宽2b

图中上边长是2b，右边长是a，所以：

$$S_{\text{全窗}}=a\times2b=2ab$$

这里b是半径，窗户整条宽为2b。不能在已经使用2b后，再多乘一次2。

两块半径相同，各占整圆的四分之一

题干说两个半径均为b。每块的面积都是：

$$S_{\text{一块}}=\frac14\pi b^2$$

因为半径相同，它们是同样大小的两个四分之一圆。把同一批两块移出原位，各转一个直角，圆心重合后可以拼成半圆。移动和旋转只改变位置，不改变面积。

因此两块合计：

$$S_{\text{装饰}}=\frac14\pi b^2+\frac14\pi b^2=\frac12\pi b^2$$

分母4表示每块占整圆四分之一；两块相加后是二分之一，不能按两个整圆计算。

回到原窗：从2ab中减去装饰

$$S_{\text{透光}}=2ab-\frac12\pi b^2$$

2ab对应整个长方形，(1/2)πb²对应两块遮光装饰，剩下的就是透光部分，所以选C。

要保持题图的装饰完整地放在窗内，需要b>0且a≥b。若a＜b，四分之一圆会伸到窗外，不能一边换成这种图，一边继续直接减去完整的两块面积。

检查：只增加窗高，哪一部分会变

用同一长度单位，保持b不变，把a增加1。透光面积增加多少？先说明装饰面积是否改变，再给结果。

展开结果与理由

两块装饰的半径b没有变，遮光面积仍是(1/2)πb²。窗户下方只多出宽2b、高1的长方形，面积是2b。因此透光面积增加2b。

也可用式子核对：2(a+1)b−(1/2)πb²，比2ab−(1/2)πb²多2b。这里保持b不变很关键；若连b也改变，就要重新计算装饰面积。

带走的动作：先认所求区域 → 选择完整图形 → 分别确认半径与份数 → 不重不漏地相减 → 条件变了再检查图形是否仍成立。

中考真题：半径与整圆份数一起看

2022·广东·第15题。 这题直接检查半径平方与四分之一整圆的面积；两块拼合、长方形相减及窗高变化由本课原题和自测另查。

扇形的半径为2，圆心角为90°，则该扇形的面积（结果保留π）为________。

展开答案与理由

π。90°占整圆360°的1/4，所以面积=(1/4)×π×2²=π。先把半径2平方，再乘整圆份数。

出处：2022年广东省中考数学试卷完整原卷重排预览。本次重新查看第1页卷名和第2页第15题完整文字及边界；本题无选项、无图，不把上下题的图算进来。