根据数轴判断绝对值中的整体正负

题目

数a、b、c在数轴上对应的位置如图，化简 $|a+b|-|c-b|$ 的结果是（　）。

• A. $a+c$
• B. $c-a$
• C. $-c-a$
• D. $a+2b-c$

答案：C，结果为−a−c，也就是选项中的−c−a。 关键是先判断a+b、c−b的整体符号，去掉绝对值后，原式中间的减号仍要保留。

本课要能做到：从数轴读出符号，用“到0的距离”解释绝对值，再连着符号追踪每一项。需要先知道负数加负数仍为负，减去负数等于加上它的相反数，以及乘法分配律。

先读位置，不从间隔猜数值

从左到右依次是b、a、0、c，所以：

$$b<a<0<c$$

a、b都是负数，c是正数。图没有给三个数的具体值，不能根据画出的间隔给它们指定数值来代替证明。

判断每个绝对值里面的整体

里面的式子	已知条件怎样起作用	整体符号
a+b	a、b都负，两个负数相加仍负	a+b＜0
c−b	c正；b负，所以−b正；c−b=c+(−b)	c−b＞0

这里−b表示b的相反数。因为b＜0，−b反而大于0。a+b虽然写着加号，它的值却为负；要看整个式子的值，不能只看写出的运算符号。

按到0的距离去掉绝对值

负数a+b到0的距离，是它的相反数；正数c−b到0的距离，就是c−b。因此：

$$|a+b|=-(a+b),\qquad |c-b|=c-b$$

再放回原式。原式用一个距离减去另一个距离，中间是减号：

$$|a+b|-|c-b|=-(a+b)-(c-b)$$

两个绝对值都非负，不代表它们的差也必须非负。先保留减法，再继续去括号。

减去c−b，要让c与−b各乘−1

第一个括号给出−a−b。第二个括号前也有减号：

$$-(c-b)=(-1)\times(c+(-b))=-c+b$$

等值写法：−1×(c−b)

−1乘c得到−c，−1乘−b得到+b，所以四个带号项是**−a、−b、−c、+b**。

$$-(a+b)-(c-b)=-a-b-c+b=-a-c$$

四个带号项：−a−b−c+b。

−b与+b相加等于0；剩下−a与−c。两个加数交换次序不改变和，−a−c与选项C的−c−a相同。

检查：哪些条件真正决定了推理

若只知道a＜0、b＜0、c＞0，没有告诉a与b谁小，还能用同样的方法吗？最终差一定非负吗？

先解释，再展开核对

仍能化简成−a−c。因为a、b都负已经保证a+b＜0；c正、b负保证c−b＞0。这两条理由没有用到a与b谁更小。

差不一定非负。例如自拟a=−2、b=−4、c=3，符合原图顺序，原式是6−7=−1。a=−2、c=2时差为0；a=−2、c=1时差为1，b仍可取−4。数值例子用于检查差的符号，前面的符号推理才说明一般结论。

带走的动作：读条件 → 判里面整体符号 → 用距离定义改写 → 保留原式运算 → 逐项去括号并合并。