把三位循环小数化成分数

题目

小深在预习《认识有理数》这一课时发现，按照定义有理数可以分为整数和分数，但书本没有提起小学阶段熟悉的小数，于是他就对“小数属于有理数吗？”这问题进行研究：

小数分为有限小数和无限小数，有限小数均能写成分数，例如 $0.2=\frac2{10}=\frac15$，$0.356=\frac{356}{1000}=\frac{89}{250}$；无限循环小数呢？小深通过查阅资料发现无限循环小数 $0.\dot3\dot6$ 化为分数如下：

令 $S=0.\dot3\dot6$，则 $100S=36.\dot3\dot6$；

$100S-S=36.\dot3\dot6-0.\dot3\dot6$ $99S=36$ $S=\frac4{11}$

所以，$0.\dot3\dot6=\frac4{11}$。

参照他的方法，$0.\dot3 6\dot9$可以化为分数________。

循环点标在3和9上，表示循环节为369，即0.369369369……。

答案：$\frac{41}{111}$。 本题循环块为369，移出完整的3位循环块后，两行小数尾巴相同，便可相减消去。

先读清循环点，再决定乘多少

点标在3和9上，表示从3到9的整块369一起重复，中间的6也在循环块中。这是0.369369369……，不是只有3和9交替。

原题示范用S表示0.363636……；下面另用大写T表示本题的0.369369369……。要消去无限的小数尾巴，第一步可以做什么？

先把369圈成一组，数出3位。乘1000会移出完整一组，小数点后的部分又从369开始。这样两行就能对齐。

$$T=0.369369369\ldots,\qquad1000T=369.369369369\ldots$$

通常说“小数点右移3位”。动画固定小数点列，让同一批数字向左跨过3个位值，表示每个数字的位值扩大1000倍。这两种观察方式表示同一次乘1000。

为什么能消去整条无限尾巴

两行从小数点后都按369、369、369……重复。因此每一个对应小数位都相同，包括没有画出来的所有位。这是循环定义给出的关系，不是只看几组数字猜后面相同。

两行相减：相同的小数部分相减为0，整数部分为369−0；左边把1000份T减去1份T，剩999份T：

$$1000T-T=369,\qquad(1000-1)T=999T=369$$

乘数是1000；999是相减后才得到的系数。不能把第一步写成999T−T，否则左边会成998T，已经换了问题。

约分前后保持同一个数

$$T=\frac{369}{999}=\frac{369\div9}{999\div9}=\frac{41}{111}$$

分子分母都除以同一个非零数9，分数值不变。代回核对：999×(41/111)=9×41=369。

换一个循环块，关系仍成立吗

k表示循环块的位数，A表示这串数字作为整数时的值。移动完整一块后，10ᵏT=A+T，所以(10ᵏ−1)T=A。k至少为1，分母10ᵏ−1不为0，因此纯循环小数能写成整数之比，是有理数。

前导0也占位。例如循环块045有3位，A=45，但仍乘1000；不能把乘数误改为100。若小数点后先有不循环的数字，再开始循环，就不能直接套这个纯循环公式。

先自己写：0.272727……、0.045045……分别怎样化分数？0.999……呢？

27循环：100T−T=27，T=27/99=3/11。045循环：1000T−T=45，T=45/999=5/111。9循环：10T−T=9，9T=9，T=1，所以0.999……与1是同一个数的两种写法。这里分别给每个例子重新设T。

这份方法的范围是从小数点后立即循环的小数。核心动作是：圈出完整循环块 → 按位数乘10的相应次方 → 对齐相同尾巴相减 → 用整数比并约分。有限小数也能写成整数之比；不能把本题结论扩展成“所有无限小数都是有理数”。

2025·江苏苏州·第11题：消去完全相同的字母部分

11. 若 $y=x+1$，则代数式 $2y-2x+3$ 的值为______．

先代入y=x+1，再看哪些部分相减为0

答案为5。把y换成x+1，得到2(x+1)−2x+3=2x+2−2x+3。相同的2x与−2x相加为0，留下2+3=5。一般的关系是(A+U)−U=A；本题循环小数中，共同的小数尾巴也充当这样一个整体U。这道真题直接检查相同部分的消元，不把它称为循环小数化分数原题。

完整原卷扫描转载 · 第2页题11。复用已核验的完整题干，原题无选项、无附图；周期位数与无限尾巴关系由本课主例题检查。