第 11 题：用数轴理解绝对值与距离之和的最小值

第 11 题：阅读理解

数轴上表示有理数的点到原点（有理数 0 表示的点）的距离，叫作这个有理数的绝对值。

例如，$|2|=|2-0|=2$，表示数轴上表示有理数 2 的点到原点的距离是 2 个单位长度。

同样地，数轴上表示有理数 $m$ 和 $n$ 的两个点之间的距离可以用 $|m-n|$ 来表示。例如，表示 −3 的点到表示 2 的点的距离是 5 个单位长度，即 $|-3-2|=5$。

以上这种借助直观的数轴来解决问题的方法，就是研究数学问题常用的“数形结合”的方法。请根据以上学到的方法完成下列任务。

任务一

请根据以上阅读计算：若点 A 表示 −2，点 B 表示 1，则 A、B 两点的距离是 ______。

任务二

根据绝对值的意义求字母的值：若 $|x-3|=4$，求 $x$ 所表示的有理数。

根据绝对值的意义，“$|x-3|=4$”指数轴上表示 $x$ 的点到表示 3 的点的距离是 4 个单位长度，$x$ 表示的有理数是 ______。

任务三

设点 P 在数轴上表示的有理数是 $x$，借助数轴探索：

$|x-4|+|x+1|$ 的最小值是 ______。

原图 2-1-7 是一条向右为正方向、相邻整数间隔相等的数轴，标出了 −6 到 6 的整数刻度，未给定点 P 的位置。

先看答案

• 任务一：3 个单位长度。
• 任务二：$x=-1$ 或 $x=7$。
• 任务三：最小值是 5。 当 $-1\le x\le4$ 时都能取到，包括两个端点。

这三项任务用的是同一个关系：两个数之差的绝对值，表示数轴上对应两点之间的距离。

任务一：两个点已经确定，求它们相距多远

A 在 −2，B 在 1。从 −2 到 0 要走 2 个单位，从 0 到 1 再走 1 个单位，所以一共是 $2+1=3$ 个单位长度。

用题目给出的绝对值关系表示：

$$AB=|-2-1|=|-3|=3$$

检验：从 −2 向右走 3 个单位，正好到达 1。距离不会是负数。

任务二：知道一个点和距离，反过来找另一个点

把 $|x-3|=4$ 读成：表示 x 的点，与表示 3 的点相距 4 个单位长度。

这次不知道 x 在哪里，所以先找到已知的 3，再从这里寻找符合距离的点：

• 向左走 4 个单位：$x=3-4=-1$。
• 向右走 4 个单位：$x=3+4=7$。

题目只规定距离，没有指定方向，因此左右两个答案都要保留。 每一边走的距离固定，位置也就确定了。

代回检查：

$$|-1-3|=|-4|=4$$ $$|7-3|=|4|=4$$

任务三：先认清两段距离

$|x-4|$ 表示 P 到 4 的距离。另一项里写的是“加 1”，怎样和两点间距离联系起来？

把加 1 改写成减去 −1：

$$|x+1|=|x-(-1)|$$

所以，$|x+1|$ 表示 P 到 −1 的距离。 两个固定的端点是 −1 和 4。

相加的顺序可以交换，因此原式表示：从 −1 出发，经过 P，再到 4，一共走多远。

1. P 在 −1 和 4 之间：两段正好拼成 5

先看固定的整段有多长：

$$4-(-1)=5$$

例如，把 P 放在 1：

这幅图只是一个例子。为什么 P 换到中间的其他位置，结果仍然是 5？

因为无论 P 在线段内的哪里，从 −1 经过 P 到 4 都不需要回头。P 把整段分成两段，两段长度相加始终等于整段长度。如果 P 向右移一点，到 −1 的距离增加多少，到 4 的距离就减少多少，总和不变。

在 $-1\le x\le4$ 时，用算式也能核对：

$$|x-4|+|x+1|=(4-x)+(x+1)=5$$

这里 $4-x$ 是 P 到右端点的距离，$x+1$ 是 P 到左端点的距离，所以两项都不会是负数。

两个端点也可以。 P 在 −1 时，两段距离是 0 和 5；P 在 4 时，两段距离是 5 和 0，总和都是 5。

2. P 在线段外：会多走一段往返路

例如，把 P 放在 5：从 −1 先走到 5，再回到 4。

不只这个例子成立：只要 P 在右端点外，就会把 4 到 P 的那段路多走两遍；只要 P 在左端点外，就会把 P 到 −1 的那段路多走两遍。

所以在线段外，距离之和总是：

固定的 5 ＋ 两倍的额外距离。

额外距离大于 0，因此总和一定大于 5。这样，我们既说明了有些位置能取到 5，也排除了更小的可能。

下次遇到这类题，先看什么？

看到两个绝对值相加，而且里面都有同一个 x，先把它们写成“x 减去某个数”，找出那两个固定点。

对于数轴上两个固定点，经过 P 的两段距离之和，最小就是两端点间的距离；P 在线段上，包括端点时取得。 如果题目另外限制了 x 的范围，还要检查这些位置是否允许。

检查自己是否看懂

有人说：“任务三里，必须让 P 到 −1 和 4 的距离相等，距离之和才最小。”这个说法对吗？请用一个例子反驳，再用整段与两段的关系解释。

查看答案与理由

不对。例如 $x=0$ 时，两段距离是 1 和 4，并不相等，但它们的和仍是最小值 5。

关键不是两段是否相等，而是P 是否在 −1 到 4 的线段上。在线段上，两段总能拼成全长；在线段外，才会多出往返路程。