七年级上数学第8周周末练习

答案：A，−1/9。 倒数的判定条件是两数相乘等于1。

正在准备演示…

先把整数写成分数

−9＝−9/1。交换分子与分母，得到1/(−9)＝−1/9。

为什么这样交换？乘起来以后，分子与分母相同，便得到1：

$$(-9)\times\left(-\frac19\right)=1$$

9是−9的相反数，因为相加为0；1/9与−9相乘为−1；−0.9与−9相乘为8.1。只有A满足倒数定义。

换一个数检查定义

0有没有倒数？

展开答案与理由

没有。0乘任何数都是0，无法得到1。倒数只对非零数存在。

答案：D，射线AB。 先认端点，再认延伸方向。

正在准备演示…

A是发光点，也是唯一的端点。光线从A出发，经过B后继续向前。因此用射线表示，并把端点A写在前面。

线段AB在A、B两处都停止；直线AB向两边延伸；射线BA以B为端点，经过A向另一侧延伸。它们都与题意不同。

换条件再试

若C也在这束光线上，且C不与A重合，射线AC与射线AB是否相同？

展开答案与理由

相同。两者端点都是A，延伸方向也相同。射线的第二个字母用来指明方向，不是另一个端点。

答案：C，1.222×10⁷。 前面的数须满足1≤a＜10。

正在准备演示…

数清小数点移动几位

把12220000的小数点从末尾移到第一个1后面，共向左移动7位，得到1.222。

前面的数缩小了10⁷倍，乘上10⁷才能保持原数不变，所以：

$$12220000=1.222\times10^7$$

B和D虽然数值也等于12220000，但12.22≥10、0.1222＜1，都不符合科学记数法的形式要求。A则把原数扩大了10倍。

换条件再试

1.222×10⁸与本题的数相比怎样变化？

展开答案与理由

扩大为原来的10倍。前面的1.222不变，十的幂从7次变成8次，多乘了一个10。

答案：C。 同类项要逐个比较字母及其指数。

正在准备演示…

选项	核对办法	正确结论
A	π是一个数，和1/3一起属于系数	系数是π/3
B	次数只加字母的指数：a²中的2与b中的1	次数是3；−5²＝−25属于系数
C	两项都含a²、b⁴、c，指数分别为2、4、1	是同类项，系数和字母排列顺序可以不同
D	三项的次数分别为3、2、0，取最高值	三次三项式；3²只影响系数

字母没有写指数，表示一次。常数项−7属于多项式中的一项，但不会提高这里的最高次数。

换条件再试

把C中第二项的a²改成a³，还是同类项吗？

展开答案与理由

不是。a的指数从2变成3，两项的字母指数不再分别相同。只看字母种类相同还不够。

答案：A。 一个底面配四个不重叠的侧面，正好留下一个开口。

正在准备演示…

从中间的底面开始折

A中间一格作为底面。与它共边的四格，分别沿这四条边折起90°，成为四个侧面。五格大小不变，连接边也不变，彼此没有重叠。

检查另三幅的冲突

B的五格排成一条直线，沿边折起后，两端会占据同一个面。

C包含一个完整的2×2方格，四格共有一个顶点。正方体每个顶点只有三个面相交；不剪开这块纸就无法形成所需的角。

D的两条三格长臂共用角格，把它作为底面折起时，两条臂的末端会重叠。

所以只有A可行。不能只数“都是5格”，还要检查折好后每格的位置。

换条件再试

把A整体旋转90°，还能折成无盖盒子吗？

展开答案与理由

能。旋转整张展开图没有改变各格的共边连接关系，原来的折叠方法仍成立。

答案：D，a＋b＜0。 由图可读出−2＜a＜−1，0＜b＜1。

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先读范围，不猜具体数

a＜−1，因此A不成立。a是负数，b是正数，异号相乘为负，所以ab＜0。

a本来就小于0，再减去正数b会更小，因此a−b＜0。

为什么a＋b一定小于0

$$a<-1,\quad b<1\quad\Longrightarrow\quad a+b<-1+1=0$$

也可想：a离0超过1个单位，而b不足1个单位。正的b不足以抵消负的a。动画中选a＝−1.5、b＝0.6帮助观察；结论由整个区间保证。

换条件再试

只知道a＜0、b＞0，还能确定a＋b的符号吗？

展开答案与理由

不能。例如−2＋1＜0，而−1＋2＞0；−1＋1还可以等于0。本题之所以能判断，是另外给出了a＜−1、b＜1。

答案：D，12种。 去程与回程的起点、终点不同，要分别计数。

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先固定起点，再列终点

出发站	可以到达的站	车票种数
A	M、C、N	3
M	A、C、N	3
C	A、M、N	3
N	A、M、C	3

每张票恰有一个起点，所以四行之间不会重复；每个不同的终点都列到了，所以不会遗漏。总数为4×3＝12。

A到M与M到A是两种车票。两站间的无方向线段只有一条，因此“6条线段”和“12种车票”数的对象不同。

换条件再试

若只允许从左向右乘车，需要几种？

展开答案与理由

3＋2＋1＝6种。A可到右侧3站，M可到2站，C可到1站，N不能继续向右。不能再给每个起点都配3个终点。

答案：C，49个。 按图中摆法，上方各排从2点增加到n＋1点，底下另有固定5点。

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先按排标记，再看哪部分变化

前四幅分别是：

• 第1幅：2＋5＝7。
• 第2幅：3＋2＋5＝10。
• 第3幅：4＋3＋2＋5＝14。
• 第4幅：5＋4＋3＋2＋5＝19。

上方每次多一排，新排比原来最长的一排多1点。底下5点没有随图号改变。

第8幅：上方8排，从2点到9点

需要算2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9，再加底下5点。

为什么配对？两端的数一小一大，它们的和相同：2＋9＝3＋8＝4＋7＝5＋6＝11。8排能配成4组，因此上方有4×11＝44点。

总数44＋5＝49。

写出同一摆法的一般关系

第n幅上方共有n排，从2到n＋1；倒序再写一份，每列和为n＋3。两份共有n(n＋3)点，一份为n(n＋3)/2；加上底下5点。

$$N_n=\frac{n(n+3)}2+5$$

这里的理由来自图中继续添排的摆法，不能仅凭7、10、14、19四个数就断言唯一的规律。

换条件再试

若底下改成6点，上方摆法不变，第8幅变成多少点？

展开答案与理由

50点。上方仍是44点，只有固定部分从5增加到6。上方各排的计算方法不变。

答案：−1。 x的指数分别相等，y的指数也分别相等。

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把相同字母对齐

字母	第一项指数	第二项指数	相等条件
x	m	3	m＝3
y	1	n＋5	n＋5＝1

y没有写指数，表示y¹，所以n＝1−5＝−4。于是m＋n＝3＋(−4)＝−1。

代回原式，两项分别是(1/3)x³y和2x³y，字母部分完全相同。n是−4，但y的实际指数是n＋5＝1，不能把这两个量混在一起。

换条件再试

若第一项的y改成y²，而其他条件不变，n会怎样变？

展开答案与理由

n＋5＝2，所以n＝−3；m仍是3。只改变y的指数，x的匹配条件不变。

答案：−2。 所求式中的3x²＋3x，是已知整体x²＋x的3倍。

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从已知中取出相同的一块

由x²＋x−1＝0，两边加1，得x²＋x＝1。

所求式的前两项都有因数3，因此逆用分配律：

$$3x^2+3x-5=3(x^2+x)-5=3\times1-5=-2$$

先找“所求式里有没有已知的整块”是本题可执行的第一步。这里不要求求出x，求x会增加不必要的计算。

换条件再试

若只把已知改成x²＋x−2＝0，所求式仍然相同，结果是什么？

展开答案与理由

x²＋x＝2，所以原式＝3×2−5＝1。仍然代入同一块，只是整块的值改变了。

答案：−3。 折叠确定相对面，再把“互为相反数”写成和为0。

正在准备演示…

先折叠确认三组相对面

一面	相对面	数的关系
5	2x−3	5＋(2x−3)＝0
y	x	y＋x＝0
−2	2	−2＋2＝0

平面图中“看着远”不等于相对。动画沿实际共用边折叠，六个标记始终跟随原来的面。

由5＋2x−3＝0，得2x＋2＝0，所以x＝−1。再由y＋x＝0，得y＝1。

$$2x-y=2\times(-1)-1=-3$$

代回检查：三对数是5与−5、1与−1、−2与2，都互为相反数。

换条件再试

只把图上的5改成7，其余规则不变，x、y如何变化？

展开答案与理由

7＋2x−3＝0，得到x＝−2，再得到y＝2。相对面配对不变；数字改变后，方程和结果随之改变。

答案：m＝−3。 “三次”与“三项”是两个必须同时满足的条件。

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先用最高次数找候选

(m−3)x的次数至多是1，2022是常数。要达到三次，只能让x的指数|m|等于3，所以m＝3或m＝−3。

再看是否保留三项

当m＝3时，一次项的系数m−3＝0，原式变成x³＋2022，只有两项。

当m＝−3时，一次项的系数为−6，原式是x³−6x＋2022，三项都不为0，最高次数是3。

因此只有m＝−3符合全部要求。系数为0的项不计入多项式的项数。

换条件再试

若把(m−3)x改成(m＋3)x，答案会变成什么？

展开答案与理由

m＝3。|m|＝3仍有正负两个候选；这次m＝−3会使一次项系数为0，必须排除。

答案：91个。 保持原图观看方向，用总数减去被挡住的角块。

正在准备演示…

先说明这里的“看得见”

原图同时看见上、前、右三个外表面。一个小立方体只要露出一个面，就算看得见；同时露出两面或三面，也只算一块。

因此不能直接算3×6²，那样会重复计算棱上和角上的小方块。转动后看遍整个物体，也不是题目的固定方向计数。

找出全部看不见的块

第n幅是n×n×n的正方体。去掉靠近观看者的三层外表面，余下的块在三个方向都各少一层，组成(n−1)×(n−1)×(n−1)的角块。

它们全被前面的层挡住；外面三层中的每一块至少露出一面。因此“总数减隐藏数”没有重复，也没有遗漏。

$$n^3-(n-1)^3$$

第6幅为6³−5³＝216−125＝91。代回n＝1、2、3，分别得到1、7、19，与原图一致。

换条件再试

如果只从正前方看，只见到一个面，第6幅能看见多少块？

展开答案与理由

36块。前面只有6×6个位置，后方都被挡住。原题的91适用于同时看见三个面的方向。

答案：（1）−1；（2）−24。 先确定运算次序，再处理符号。

正在准备演示…

（1）乘方与绝对值先算

−4²＝−16，因为平方只作用在4上；|1/2−1|＝|−1/2|＝1/2。

$$-16\times\frac12+5+2=-8+5+2=-1$$

减去负五等于加五。最后从左到右算加减。

（2）先把带分数与除法换写

−1又5/16＝−21/16，−1又3/4＝−7/4。除以−7/4，等于乘它的倒数−4/7。

$$(-56)\times\left(-\frac{21}{16}\right)\times\left(-\frac47\right)\times\frac47$$

三个负因数相乘为负。只算绝对值并约分：

$$\frac{56\times21\times4\times4}{16\times7\times7}=24$$

所以结果是−24。乘除同级，从左到右；不能把末尾的×4/7并进前面的除数。

换条件再试

把（1）开头改成(−4)²，其余不变，结果是多少？

展开答案与理由

(−4)²＝16，结果为16×1/2＋5＋2＝15。括号改变了平方的底数，不能沿用−16。

答案：（3）−xy；（4）−6x²−35x；（5）−a²−5a；（6）x²−x＋6。 每次去一层括号，逐项乘上括号外的数。

正在准备演示…

（3）先展开，再分三组

$$3x^2+2xy-4y^2-3xy+4y^2-3x^2$$

x²项的系数3−3＝0，y²项的系数−4＋4＝0，xy项的系数2−3＝−1，所以只剩−xy。

（4）−5也要乘到两项

$$4x^2-20x-10x^2-15x=(4-10)x^2+(-20-15)x=-6x^2-35x$$

后一个括号里是＋3x，乘−5后得到−15x。

（5）a²与a不能混成一组

$$(3-4)a^2+(2-7)a=-a^2-5a$$

合并同类项只改变系数，各字母的指数保留。

（6）从内层到外层

先算−3(1/3 x＋2)＝−x−6。方括号内变成2x−x−6＋4x²＝4x²＋x−6。

$$5x^2-(4x^2+x-6)=5x^2-4x^2-x+6=x^2-x+6$$

外层减号表示把整个方括号乘−1，因此−6变成＋6。

换条件再试

（3）中如果把括号前的减号改成加号，平方项还会抵消吗？

展开答案与理由

不会。得到6x²＋5xy−8y²。各项原来的符号保留，x²项变成相加，y²项也是相加。判断能否抵消要看带符号的系数之和。

答案：化简为5x²y＋6xy−5，代入后为−21。 先减少重复项，再代入，计算更短。

正在准备演示…

从最里面的括号开始

−3(4xy−2)＝−12xy＋6，所以方括号内为：

$$6xy-12xy+6-x^2y=-6xy+6-x^2y$$

再处理整个方括号前的减号

$$4x^2y+6xy-6+x^2y+1=5x^2y+6xy-5$$

5x²y与6xy不是同类项：x的指数分别是2与1，因此到这里已经合并完毕。

最后代入两个字母

x²y＝2²×(−1/2)＝−2，xy＝2×(−1/2)＝−1。

$$5\times(-2)+6\times(-1)-5=-10-6-5=-21$$

独立核对：直接代入原式，方括号内是−6−3×(−6)−(−2)＝14；外面是−8−14＋1＝−21，与化简后结果相同。

换条件再试

若y＝0，x保持任意数，化简式的值是多少？

展开答案与理由

−5。含y的两项都变为0。直接代入原式也得到0−[0−3(−2)−0]＋1＝−5。

答案：（1）1.3千克；（2）205千克；（3）30元/千克。 标准质量、可售质量和成本分别计算。

正在准备演示…

（1）最重减最轻

最重一箱为10＋0.8＝10.8千克，最轻一箱为10−0.5＝9.5千克，相差10.8−9.5＝1.3千克。

因为标准都是10千克，也可直接用偏差相减：0.8−(−0.5)＝1.3。

（2）每种偏差要乘对应箱数

先核对箱数：1＋4＋3＋4＋5＋3＝20。标准总质量为20×10＝200千克。

偏差总量为：

$$(-0.5)\times1+(-0.25)\times4+0\times3+0.25\times4+0.8\times5+0.5\times3=5$$

实际总质量200＋5＝205千克。不能只把表头的六个偏差相加，因为各类箱数不同。

（3）损耗改变可售质量，利润以成本为基准

可售质量＝205×(1−20%)＝164千克。

成本＝20×200＋100＝4100元。要在成本上获利20%，所需收入＝4100×(1＋20%)＝4920元。

单价＝收入÷可售质量＝4920÷164＝30元/千克。

回算：164×30−4100＝820元；820÷4100＝20%。

换条件再试

若没有损耗，仍按同一成本获利20%，所需总收入会改变吗？

展开答案与理由

不会，仍需4920元；但可售质量增为205千克，单价降为4920÷205＝24元/千克。利润要求决定收入，损耗决定用多少质量分摊这笔收入。

答案：（1）40x＋13000元；36x＋13500元。（2）方案二合算，少付300元。 每种方案都要算完成同一购买目标的总款。

正在准备演示…

方案一：领带先扣除赠送数量

50套西装需50×300＝15000元，赠送50条领带。题目要x条，还需付费买x−50条。

$$15000+40(x-50)=40x+13000$$

这里的x＞50保证剩余需购买数量为正。

方案二：两种商品合价后打九折

$$0.9(15000+40x)=13500+36x$$

九折是付定价的90%，两种商品都参与。

代入200条再作比较

方案一：40×200＋13000＝21000元。

方案二：36×200＋13500＝20700元。

21000−20700＝300元，所以这次方案二更合算。没有把两种方案混用，比较的是题目给出的两种完整方案。

换条件再试

是否领带买多少，方案二都更合算？

展开答案与理由

不是。两笔总款相差4x−500；x＝125时相同。50＜x＜125时方案一便宜，x＞125时方案二便宜。优惠的好坏与购买数量有关。

答案：（1）(9²−6²)/6＝7＋1/2；[(n＋3)²−n²]/6＝n＋1＋1/2。（2）4850。 先把图号与底数对应，再解释为什么能一直这样算。

正在准备演示…

（1）第几个等式，小底数就是几

第n个小底数是n，大底数总比它大3，因此是n＋3。第6个是(9²−6²)/6＝45/6＝7＋1/2。

为什么一般式成立？在(n＋3)×(n＋3)的大方阵中，去掉n×n的小方阵。余下可分成上面3排、每排n＋3格，以及右面3列、每列n格；两部分没有重叠。

$$(n+3)^2-n^2=3(n+3)+3n=6n+9$$

再除以6，得到n＋3/2，也就是n＋1＋1/2。这里用格子拆分说明理由，不需要预先背平方差公式。

（2）分子多减3，整项少1/2

$$\frac{(n+3)^2-n^2-3}{6}=n+\frac32-\frac12=n+1$$

所以原和是2＋3＋4＋…＋98。小底数从1到97，一共97项；末项的100是大底数，不能据此当成100项。

一份正写，一份倒写

每列分别为2＋98、3＋97、…、98＋2，每列都是100。97列相加是9700，这是原和的两倍。

$$S=\frac{97\times100}{2}=4850$$

换条件再试

如果第二问每个分子不减3，总和会增加多少？

展开答案与理由

每项增加3/6＝1/2，共97项，总和增加97/2＝48.5。项数与每项的改变量都要分别确认。

答案：（1）a＝8，b＝4，c＝−3；（2）P表示2或6；（3）v₁/v₂＝1/2。 分别使用非负数、线段距离相加和中点关系。

正在准备演示…

（1）两个非负数怎样相加为0

|a−8|≥0、(c＋3)²≥0。只要其中一项大于0，它们的和就大于0。因此必须a−8＝0、c＋3＝0，得到a＝8、c＝−3。

B是A与O的中点，所以b＝(8＋0)/2＝4。数轴从左到右为C(−3)、O(0)、B(4)、A(8)。

（2）先看P在线段CA内的情况

为什么先看两端C、A？P在它们之间时，PC＋PA恰好等于CA＝8−(−3)＝11；P移动时一段增加，另一段减少。

总和要求13，所以还缺的PB＝13−11＝2。B表示4，向左2得到P＝2，向右2得到P＝6，两者都位于CA内。

代回：P＝2时，PA＋PB＋PC＝6＋2＋5＝13；P＝6时，PA＋PB＋PC＝2＋2＋9＝13。

检查CA外，确认没有遗漏

P在C处的总距离为11＋7＋0＝18；再向左走，三段距离都变长，所以左侧无法得到13。

P在A处的总距离为0＋4＋11＝15；再向右走，三段距离也都变长，所以右侧无法得到13。

因此全部答案就是2与6。这个检查覆盖了整条数轴。

（3）先求Q的起点和速度

这问从原来的A、B重新出发。M从4出发，N从8出发，C固定在−3。Q的起点为(−3＋8)/2＝2.5，因此初始MQ＝1.5。

N向左移动d个单位后，Q的位置从(C＋N)/2变成(C＋N−d)/2，只向左移动d/2。因此Q的速度是v₂/2。

要让M与Q的距离始终不变，两者必须同向同速，即v₁＝v₂/2，所以v₁/v₂＝1/2。

也可以写出t秒时的位置核对：

$$M:4-v_1t,\quad N:8-v_2t,\quad Q:\frac52-\frac{v_2}2t$$ $$MQ=\left|\frac32+\left(\frac{v_2}2-v_1\right)t\right|$$

t从0开始连续变化。若t的系数不为0，最初的一小段时间里距离就会改变，因而不可能始终是定值。系数为0时，距离对所有t都等于3/2，这也证明条件足够。

换条件再试

把N的出发点改变，而C仍固定、中点关系不变，要保持MQ恒定，速度比还一定是1/2吗？

展开答案与理由

仍是1/2。起点会改变初始间距，但N移动d时，中点Q始终只移动d/2，因此保持间距仍要求M与Q同速。这里两点都按题意向左匀速运动。