按排计数：第八幅的三角点阵与固定五点

用大小相同的圆点摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放，则第8个图案中共有圆点的个数是（　）。

A. 34　　B. 40　　C. 49　　D. 59

答案：C，49个。 按图中摆法，上方各排从2点增加到n＋1点，底下另有固定5点。

正在准备演示…

先按排标记，再看哪部分变化

前四幅分别是：

• 第1幅：2＋5＝7。
• 第2幅：3＋2＋5＝10。
• 第3幅：4＋3＋2＋5＝14。
• 第4幅：5＋4＋3＋2＋5＝19。

上方每次多一排，新排比原来最长的一排多1点。底下5点没有随图号改变。

第8幅：上方8排，从2点到9点

需要算2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9，再加底下5点。

为什么配对？两端的数一小一大，它们的和相同：2＋9＝3＋8＝4＋7＝5＋6＝11。8排能配成4组，因此上方有4×11＝44点。

总数44＋5＝49。

写出同一摆法的一般关系

第n幅上方共有n排，从2到n＋1；倒序再写一份，每列和为n＋3。两份共有n(n＋3)点，一份为n(n＋3)/2；加上底下5点。

$$N_n=\frac{n(n+3)}2+5$$

这里的理由来自图中继续添排的摆法，不能仅凭7、10、14、19四个数就断言唯一的规律。

换条件再试

若底下改成6点，上方摆法不变，第8幅变成多少点？

展开答案与理由

50点。上方仍是44点，只有固定部分从5增加到6。上方各排的计算方法不变。