平方差规律：添三排三列，再配对求和

观察以下等式：

第1个等式：(4²−1²)/6＝2＋1/2；

第2个等式：(5²−2²)/6＝3＋1/2；

第3个等式：(6²−3²)/6＝4＋1/2；

第4个等式：(7²−4²)/6＝5＋1/2；……

请根据上述规律完成下列问题：

（1）第6个等式为______，第n个等式为______；

（2）利用上述规律，计算：

$$\frac{4^2-1^2-3}{6}+\frac{5^2-2^2-3}{6}+\frac{6^2-3^2-3}{6}+\frac{7^2-4^2-3}{6}+\cdots+\frac{100^2-97^2-3}{6}$$

答案：（1）(9²−6²)/6＝7＋1/2；[(n＋3)²−n²]/6＝n＋1＋1/2。（2）4850。 先把图号与底数对应，再解释为什么能一直这样算。

正在准备演示…

（1）第几个等式，小底数就是几

第n个小底数是n，大底数总比它大3，因此是n＋3。第6个是(9²−6²)/6＝45/6＝7＋1/2。

为什么一般式成立？在(n＋3)×(n＋3)的大方阵中，去掉n×n的小方阵。余下可分成上面3排、每排n＋3格，以及右面3列、每列n格；两部分没有重叠。

$$(n+3)^2-n^2=3(n+3)+3n=6n+9$$

再除以6，得到n＋3/2，也就是n＋1＋1/2。这里用格子拆分说明理由，不需要预先背平方差公式。

（2）分子多减3，整项少1/2

$$\frac{(n+3)^2-n^2-3}{6}=n+\frac32-\frac12=n+1$$

所以原和是2＋3＋4＋…＋98。小底数从1到97，一共97项；末项的100是大底数，不能据此当成100项。

一份正写，一份倒写

每列分别为2＋98、3＋97、…、98＋2，每列都是100。97列相加是9700，这是原和的两倍。

$$S=\frac{97\times100}{2}=4850$$

换条件再试

如果第二问每个分子不减3，总和会增加多少？

展开答案与理由

每项增加3/6＝1/2，共97项，总和增加97/2＝48.5。项数与每项的改变量都要分别确认。