三次三项式：次数与非零项数要同时成立

若下面的多项式是关于x的三次三项式，那么m的值为______。

$$x^{|m|}+(m-3)x+2022$$

答案：m＝−3。 “三次”与“三项”是两个必须同时满足的条件。

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先用最高次数找候选

(m−3)x的次数至多是1，2022是常数。要达到三次，只能让x的指数|m|等于3，所以m＝3或m＝−3。

再看是否保留三项

当m＝3时，一次项的系数m−3＝0，原式变成x³＋2022，只有两项。

当m＝−3时，一次项的系数为−6，原式是x³−6x＋2022，三项都不为0，最高次数是3。

因此只有m＝−3符合全部要求。系数为0的项不计入多项式的项数。

换条件再试

若把(m−3)x改成(m＋3)x，答案会变成什么？

展开答案与理由

m＝3。|m|＝3仍有正负两个候选；这次m＝−3会使一次项系数为0，必须排除。