纸片折成无盖盒子：为什么长和宽都要减两次？

题目

在一次数学活动课上，王老师给同学们发了一张长 30 cm、宽 20 cm 的长方形纸片（如图），要求折成一个高为 5 cm 的无盖长方体盒子。请在图中用虚线画出折痕，并求出该盒子的容积。

答案：盒子的容积是 1000 cm³。 底部长 20 cm、宽 10 cm，高是题目给出的 5 cm。

这道题的关键是：纸片的长和宽，都要给两端的盒壁各留出一段。 找到了真正的底面，容积就容易算了。

① 先分清：哪部分是底，哪部分变成壁？

把纸片想成还没有立起的盒子。中间的一块留在下面，成为底面；周围的四条纸边向上折，成为四面盒壁。

盒子要高 5 cm，每面盒壁从底面到上边缘就要有 5 cm。所以，要从纸片的每一条边向里面量 5 cm，画一条与这条边平行的虚线。

这四条直的虚线围出的中央长方形，就是盒子的底面。

② 沿着长边看：为什么要减两次？

现在只看纸片原来长 30 cm 的方向，从一端走到另一端，依次经过：

一侧盒壁 → 盒子底部 → 另一侧盒壁。

两侧盒壁各用掉 5 cm。底部长是剩在中间的那一段，所以：

$$\text{底部长}=30-5-5=20\text{ cm}$$

如果只算 30 − 5，就只扣掉了一侧盒壁，另一侧还被算进底部长里。照片中第一次的算法，漏掉的正是这一段。

回头检查：5 + 20 + 5 = 30 cm，三段合起来正好还原纸片的长。

③ 沿着宽边看：另一方向也有两端

再看纸片原来宽 20 cm 的方向。这里同样要给两端盒壁各留 5 cm，中间剩下的才是底部宽：

$$\text{底部宽}=20-5-5=10\text{ cm}$$

检查：5 + 10 + 5 = 20 cm，也能还原纸片的宽。

到这里，盒子的三个尺寸都找齐了：长 20 cm、宽 10 cm、高 5 cm。

④ 看着纸片立起来，把三段和盒壁对上

点“播放”看一次，再暂停或拖动进度，观察两边的纸怎样立成盒壁。也可以旋转视角，看看中央底面一直保留在哪里。

正在准备纸片折盒的三维过程…

动画保留整张纸。 最后，四角叠成的三角形像小耳朵一样留在盒子外侧，便于看清角部没有被剪掉；实际制作还可以把它们贴向盒壁。本题按纸厚可以忽略的几何模型计算容积。

⑤ 先求底面积，再求容积

底面是一块长 20 cm、宽 10 cm 的长方形。先算它的面积：

$$\text{底面积}=20\times10=200\text{ cm}^2$$

面积说的是这一块面有多大。 可以把底面看成铺了 200 个边长为 1 cm 的小正方形。

如果在每个小正方形上放一个棱长为 1 cm 的小正方体，就铺成了高 1 cm 的一层，共 200 个。盒子高 5 cm，可以叠 5 层：

$$\text{容积}=\text{底面积}\times\text{高}=200\times5=1000\text{ cm}^3$$

所以，这个无盖盒子的容积是 1000 cm³。

⑥ 对照照片：订正到哪里就已经完成了？

照片中后来已经把底面的长、宽改对了：20 × 10 × 5 = 1000。到这里，容积的数值已经求出。

还需要检查两件事：

1. 单位写 cm³。 cm 表示长度，cm² 表示面积，cm³ 表示容积或体积。三个长度相乘，得到的是体积，不能写成 cm²。
2. 不要继续算 1000 − 200。 这里的 1000 cm³ 是容积，200 cm² 是底面积，表示的不是同一种量，不能相减。并且题目没有要求从容积中扣除什么。

这类题有什么特点，考什么能力？

看到“长方形纸片”“向上折”“盒高”和“无盖长方体”，先找出平面上的哪几段，折后分别对应底面的边和盒子的高。

• 把平面与立体对应起来： 图上宽为 5 cm 的边条，立起后变成高为 5 cm 的盒壁；中央长方形才是底面。
• 把同一方向的各段数完整： 两端各有一面盒壁，所以原长、原宽都要各减去两个盒高，不能漏算一端。
• 选对所求的量和单位： 底面积描述一个面，用 cm²；容积描述内部空间，用 cm³。先看清求什么，再决定算什么。

通用思路是：认底和壁 → 两端各留盒高 → 求底部长、宽 → 底面积 × 高 → 检查单位。 这个思路适用于像本题这样四边等宽折起、底面在中间的长方体盒子；折后底面的长和宽都必须大于 0。

换一个盒高，检查自己是否会了

同一张纸，如果改折成高 4 cm 的盒子，底部长和宽各是多少？容积是多少？

每一侧改留 4 cm。底部长：30 − 4 − 4 = 22 cm；底部宽：20 − 4 − 4 = 12 cm。

容积：22 × 12 × 4 = 1056 cm³。理由仍然是两个方向都要给两端留出盒壁；“无盖”不需要另外减面积。