纸片折成无盖盒子：为什么长和宽都要减两次？

题目

在一次数学活动课上，王老师给同学们发了一张长 30 cm、宽 20 cm 的长方形纸片（如图），要求折成一个高为 5 cm 的无盖长方体盒子。请在图中用虚线画出折痕，并求出该盒子的容积。

答案：盒子的容积是 1000 cm³。 底部长 20 cm、宽 10 cm，高是题目给出的 5 cm。

纸片的长和宽，都要给两端的盒壁各留出一段。 找到真正的底面，容积就好算了。

① 先分清：哪部分是底，哪部分变成壁？

把纸片想成还没有立起来的盒子。中间的一块留在下面，是底面；周围的四条纸边向上折，是四面盒壁。

盒子要高 5 cm，所以每面盒壁从底面到上边缘要有 5 cm。做法是：从纸片的每一条边向里量 5 cm，画一条和这条边平行的虚线。

这四条直的虚线围出的中央长方形，就是盒子的底面。

② 沿着长边看：为什么要减两次？

现在只看纸片长 30 cm 的方向。从一端走到另一端，依次经过：

一侧盒壁 → 盒子底部 → 另一侧盒壁。

两侧盒壁各用掉 5 cm。底部长是中间剩下的那一段，所以：

$$\text{底部长}=30-5-5=20\text{ cm}$$

如果只算 30 − 5，就只扣掉了一侧盒壁，另一侧还算在底部长里。照片里第一次的算法，漏掉的正是这一段。

回头检查：5 + 20 + 5 = 30 cm，三段合起来正好还原纸片的长。

③ 沿着宽边看：另一方向也有两端

再看纸片宽 20 cm 的方向。这里也要给两端的盒壁各留 5 cm，中间剩下的才是底部宽：

$$\text{底部宽}=20-5-5=10\text{ cm}$$

检查：5 + 10 + 5 = 20 cm，也能还原纸片的宽。

到这里，盒子的三个尺寸都找齐了：长 20 cm、宽 10 cm、高 5 cm。

④ 看着纸片立起来，把三段和盒壁对上

点“播放演示”看一遍，再暂停或拖动进度，看两边的纸怎样立成盒壁。也可以转一转视角，看中间的底面一直留在哪里。

正在准备纸片折盒的三维过程…

动画里整张纸都留着。 最后，四个角叠成的三角形像小耳朵一样留在盒子外面，你能看清角没有被剪掉；真做盒子时，可以把它们贴到盒壁上。算容积时，不考虑纸的厚度。

⑤ 先求底面积，再求容积

底面是一块长 20 cm、宽 10 cm 的长方形。先算它的面积：

$$\text{底面积}=20\times10=200\text{ cm}^2$$

面积说的是这一块面有多大。 可以想成：底面上铺了 200 个边长 1 cm 的小正方形。

在每个小正方形上放一个棱长 1 cm 的小正方体，就铺成了高 1 cm 的一层，共 200 个。盒子高 5 cm，可以叠 5 层：

$$\text{容积}=\text{底面积}\times\text{高}=200\times5=1000\text{ cm}^3$$

所以，这个无盖盒子的容积是 1000 cm³。

⑥ 对照照片：订正到哪里就已经完成了？

照片里后来已经把底面的长、宽改对了：20 × 10 × 5 = 1000。到这里，容积的数已经算出来了。

还需要检查两件事：

1. 单位写 cm³。 cm 是长度的单位，cm² 是面积的单位，cm³ 是容积或体积的单位。三个长度相乘，得到的是体积，不能写成 cm²。
2. 不要再算 1000 − 200。 1000 cm³ 是容积，200 cm² 是底面积。它们不是同一种量，不能相减。题目也没有要求从容积里扣掉什么。

下次遇到这类题先看什么

看到“长方形纸片”“向上折”“盒高”“无盖长方体”，先问：纸片上的哪几段，折起来是底面的边？哪几段是盒子的高？

• 先认底和壁。 图上宽 5 cm 的边条，立起来就是高 5 cm 的盒壁；中间的长方形才是底面。
• 一个方向的几段要数全。 两端各有一面盒壁，所以长和宽都要减两次盒高，不能漏掉一端。
• 看清求什么，再选单位。 底面积说的是一个面，用 cm²；容积说的是里面的空间，用 cm³。

顺序是：认底和壁 → 两端各留盒高 → 求底部长、宽 → 底面积 × 高 → 检查单位。

这个办法用在本题这种盒子上：四条边折起同样的宽度，底面在中间。折完以后，底面的长和宽都要大于 0，盒子才做得出来。

换一个盒高，检查自己是否会了

同一张纸，如果改折成高 4 cm 的盒子，底部长和宽各是多少？容积是多少？

每一侧改留 4 cm。底部长：30 − 4 − 4 = 22 cm；底部宽：20 − 4 − 4 = 12 cm。

容积：22 × 12 × 4 = 1056 cm³。道理没有变：两个方向都要给两端留出盒壁；“无盖”不用另外减面积。