从数轴理解 a 的绝对值：为什么负数时等于 −a？

题目

怎样理解一个数 $a$ 的绝对值？

为什么 $a$ 是正数时，$|a|=a$；而 $a$ 是负数时，$|a|=-a$？

这里的 $-a$ 一定是负数吗？如果 $a=0$，它的绝对值又是多少？

绝对值看的是“离 0 多远”；−a 表示的是“a 的相反数”。

我们先用具体数字看距离，再把数字换成字母 a。这样就能弄清楚：为什么 a 是负数时，绝对值反而写成 −a。

1. 先数一数：离 0 有多远？

想象在纸上画一条数轴，每相邻两个整数之间的距离都一样，算作 1 个单位。

• 3 在 0 右边，到 0 的距离是 3，所以 $|3|=3$。
• −3 在 0 左边，到 0 的距离也是 3，所以 $|-3|=3$。

2. a 可以是负数，−a 也可以是正数

a 是一个数的名字。它可以代表 3，也可以代表 −3，还可以代表 0。

在 a 前面写一个“−”，表示取 a 的相反数。 在数轴上，相反数位于 0 的两边，到 0 的距离相等；0 的相反数还是 0。

a 是什么数	−a 表示谁的相反数	−a 是多少
3	3 的相反数	−3
−3	−3 的相反数	3

请把第二行慢慢读一遍：

如果 a 是 −3，那么 −a 就是“−3 的相反数”，也就是 3。

写成算式是：

$$a=-3,\qquad -a=-(-3)=3$$

所以，看到 −a 前面的“−”，不能马上认定它是负数。要先知道 a 是什么数。

3. a 是正数时，距离就是 a

当 a 是正数时，它在 0 的右边。

右边这个正数是多少，它到 0 的距离就是多少。例如 3 到 0 的距离是 3；换成正数 a，到 0 的距离就是 a。

因此，当 $a>0$ 时：

$$|a|=a$$

4. a 是负数时，为什么距离是 −a？

现在不告诉你 a 具体是多少，只告诉你：a 是负数。

先在 0 左边找到 a，再在右边找到一个离 0 同样远的点。

顺着图，一步一步想：

1. a 在 0 左边，所以 a 是负数。
2. 它的相反数 −a 在 0 右边，所以 −a 是正数。
3. 右边的正数 −a 到 0 的距离是 −a；左边的 a 到 0 与它一样远，所以距离也是 −a。

因此，当 $a<0$ 时：

$$|a|=-a$$

5. a 是 0 时，距离就是 0

0 到自己没有距离，所以 $|0|=0$。

把三种情况放在一起：

a 的情况	怎样表示距离	绝对值
a 是正数	用它本身	$|a|=a$
a 是负数	用它的相反数	$|a|=-a$
a 是 0	距离为 0	$|a|=0$

做题时，先判断 a 在 0 的哪边，再想用哪个数表示距离。无论 a 是什么数，绝对值都不会小于 0。

检查自己是否看懂

只知道 $a<0$，不知道 a 具体是多少：

−a 在 0 的哪边？为什么它能表示 a 到 0 的距离？

先用“相反数”和“距离”说出理由，再打开答案。

查看答案与理由

a 是负数，在 0 左边；它的相反数 −a 是正数，在 0 右边。两个数到 0 的距离相等，右边的正数 −a 正好表示这段距离，因此 $|a|=-a$。

−a 前面虽然有“−”，但在 a 是负数的条件下，−a 是正数。