从离家多远理解绝对值：为什么负数时等于 −a？

题目

怎样理解一个数 $a$ 的绝对值？

为什么 $a$ 是正数时，$|a|=a$；而 $a$ 是负数时，$|a|=-a$？

这里的 $-a$ 一定是负数吗？如果 $a=0$，它的绝对值又是多少？

绝对值看的是“离 0 多远”。 比如你在家左边 3 米处，位置记作 −3，离家仍是 3 米，所以 $|-3|=3$。

把 −3 换成负数 a，道理一样。a 的相反数 −a 是正数，正好表示这段距离，所以 $|a|=-a$。

先看街道上的人和温度计，再看数轴上的 a 与 −a。讲解分段播放，每段讲完会停下。想好了再点“继续讲解”。听完后切到“自己探索”，改变 a，看看位置和距离怎样变化。

下面几节是动画里讲过的内容，写成文字方便以后复查。

1. 家在 0：位置有左右，距离有多远

想象你家门口是一条笔直的路。家记作 0，每格是 1 米。右边的位置用正数表示，左边用负数表示。

你站在右边 3 米处，位置记作 3。朋友站在左边 3 米处，位置记作 −3。

你们站的位置不同，离家却一样远：都是 3 米。

• 3 在 0 右边，离家 3 米，所以 $|3|=3$。
• −3 在 0 左边，离家也是 3 米，所以 $|-3|=3$。
• 就站在家门口，离家 0 米，所以 $|0|=0$。

这里问的是现在离家多远。如果先向左走 3 米，再向右走 5 米，你在右边 2 米处。离家是 2 米，已经走过的路一共是 8 米。

2. 换成温度：离 0℃ 相差多少？

看温度计：4℃ 在 0℃ 上方，−4℃ 在 0℃ 下方。它们离 0℃ 的刻度都相差 4℃。

温度	与 0℃ 比较	相差多少
4℃	比 0℃ 高	4℃
−4℃	比 0℃ 低	4℃
0℃	就在 0℃	0℃

所以 $|4|=4$，$|-4|=4$。这里的绝对值表示与 0℃ 相差多少。−4℃ 的温度仍是 −4℃，没有变暖成 4℃。

想一想：−2℃ 和 −5℃，哪一个离 0℃ 更远？哪一个温度更低？

展开温度问题的答案

−5℃ 离 0℃ 更远，相差 5℃；它的温度也更低。$|-5|>|-2|$，但 $-5<-2$。温度的高低与离 0℃ 多远，要分别看。

3. 把具体数字换成 a，问题没有变

a 是一个数的名字。它可以代表 3，也可以代表 −3，还可以代表 0。

只写 a，还不知道它具体是几。$|a|$ 就是在问：a 在数轴上的位置，离 0 有多远？

• $a<0$：a 是负数，点在 0 的左边。
• $a\geq0$：a 是正数或 0，点在右边或原点。

虽然不知道 a 具体是几，这些条件已经告诉我们该看哪一边。

4. −a 是 a 的相反数，它也可以是正数

在 a 前面写一个“−”，表示取 a 的相反数。 在数轴上，相反数位于 0 的两边，到 0 的距离相等；0 的相反数还是 0。

a 是什么数	−a 表示谁的相反数	−a 是多少
3	3 的相反数	−3
−3	−3 的相反数	3
0	0 的相反数	0

请把第二行慢慢读一遍：

如果 a 是 −3，那么 −a 就是“−3 的相反数”，也就是 3。

写成算式是：

$$a=-3,\qquad -a=-(-3)=3$$

所以，看到 −a，先读成 “a 的相反数”。它的正负，要看 a 原来是什么数。

5. a 在右边或原点，距离就是 a

当 a 是正数时，它在 0 的右边。

右边这个正数是多少，它到 0 的距离就是多少。例如 3 到 0 的距离是 3；换成正数 a，到 0 的距离就是 a。

当 a 是 0 时，点就在原点，到 0 的距离也是 0。

把这两种情况放在一起：当 $a\geq0$ 时，

$$|a|=a$$

6. a 在左边，为什么距离是 −a？

现在不告诉你 a 具体是多少，只告诉你：a 是负数。

先在 0 左边找到 a，再在右边找到一个离 0 同样远的点。

顺着图，一步一步想：

1. a 在 0 左边，所以 a 是负数。
2. 它的相反数 −a 在 0 右边，所以 −a 是正数。
3. 右边的正数 −a 到 0 的距离是 −a；左边的 a 到 0 与它一样远，所以距离也是 −a。

因此，当 $a<0$ 时：

$$|a|=-a$$

7. 分类公式是在说同一件事

两种写法求的都是 a 到 0 的距离：

a 的情况	怎样表示距离	绝对值
a 是正数或 0	用它本身	$|a|=a$
a 是负数	用它的相反数	$|a|=-a$

$$|a|=\begin{cases}a,&a\geq0\\-a,&a<0\end{cases}$$

零放在第一种情况里就够了。a 是 0 时，a 与 −a 都是 0。

做题时，先判断 a 在 0 的哪边，再想用哪个数表示距离。无论 a 是什么数，绝对值都不会小于 0。

自己试：先判断里面这个数

只知道 $a<0$，不知道 a 具体是多少：

−a 在 0 的哪边？$|-a|$ 等于什么？

先用“相反数”和“距离”说出理由，再打开答案。

查看答案与理由

$|-a|=-a$。因为 a 是负数，所以它的相反数 −a 是正数，在 0 右边。绝对值里面的 −a 已经是正数，取它本身就行。

用 $a=-3$ 检查：$-a=3$，所以 $|-a|=|3|=3=-a$。

再试一步：里面是一整个算式

已知 $a<2$，求 $|a-2|$。先想：a 比 2 小，那么 a−2 在 0 的哪边？

展开整体判断的答案

因为 $a<2$，所以 $a-2<0$。把 a−2 看成一个完整的数，它是负数，就取它的相反数：

$$|a-2|=-(a-2)=2-a$$

例如 a 是 1，里面是 −1，绝对值是 1；$2-a=2-1=1$。取相反数时，括号要包住整个 a−2。

中考真题：2024·安徽·第 1 题

1. −5 的绝对值是

A. 5　　B. −5　　C. $\frac15$　　D. $-\frac15$

展开真题答案与理由

选 A。−5 在 0 的左边，离 0 有 5 个单位，所以 $|-5|=5$。

题干和四个选项已对照原卷第 1 页逐字核验，本题无配图。

下次遇到绝对值，先看两条竖线里面的整个数：它是正数、零，还是负数？再用“到 0 的距离”解释你的答案。