新数 i 的乘方循环：2i¹⁰⁰+1 怎么算

题目

晓华同学热爱数学研究，一天他在课外读物上发现这样的一个数 i，晓华还发现 i 具有如下性质：

$$i^{1}=i,\qquad i^{2}=-1,\qquad i^{3}=i^{2}\times i=-1\times i=-i,\qquad i^{4}=i^{2}\times i^{2}=-1\times(-1)=1,\qquad i^{5}=i^{4}\times i=1\times i=i$$

请你根据发现的规律计算 $2i^{100}+1$。

$2i^{100}+1=2\times 1+1=3$。 不是靠乘一百次算出来的，是靠“每 4 次一循环”看出来的。

1. 先把小指数列出来，看清“圈”

乘方就是相同因数的连乘。把 i 的幂从 $i^{1}$ 写到 $i^{8}$：

n	1	2	3	4	5	6	7	8
$i^{n}$	$i$	$-1$	$-i$	$1$	$i$	$-1$	$-i$	$1$

第 5、6、7、8 个和第 1、2、3、4 个一模一样。列表是发现规律的动作；但“前几项看起来重复”还只是猜想，下一节给出它必然成立的理由。

2. 为什么一定会循环

题目已经算出 $i^{4}=1$（也可以自己复算：$i^{4}=i^{2}\times i^{2}=(-1)\times(-1)=1$，负负得正）。而任何数乘 1 都不变，于是：

$$i^{5}=i^{4}\times i=1\times i=i$$

这正是题目里写的那一步。它意味着：从 $i^{5}$ 开始，每一步都相当于把 4 步之前的那个数再乘一遍 $i$——后面每一项都和 4 步之前完全相同。每往前 4 步，就多乘一个 $i^{4}=1$，等于没变。 所以循环长度是 4，这不是猜的，是由 $i^{4}=1$ 推出来的。

3. 用除法定位：100 落在圈上哪一格

圈上的四个位置按顺序是：

余数	1	2	3	0
结果	$i$	$-1$	$-i$	$1$

用指数除以 4：$100=4\times 25$，商 25 是整圈数，全部扔掉（每圈都回到同一个数）；余数是 0，落在第 4 格。写成算式最直接：

$$i^{100}=\left(i^{4}\right)^{25}=1^{25}=1$$

也可以换条路核对：$i^{100}=\left(i^{2}\right)^{50}=(-1)^{50}=1$，50 是偶数，负号成对抵消。两条路一致。

4. 代回原式

$$2i^{100}+1=2\times 1+1=3$$

再自检一次：第 97 个应该是 $i$（$97=4\times 24+1$，余 1）。用乘法核对：$i^{97}=i^{96}\times i=\left(i^{4}\right)^{24}\times i=1\times i=i$ ✓。往前数 3 格：98 是 $-1$、99 是 $-i$、100 是 $1$，和上面的结论一致。

换一个数，这个方法还能用吗

• 识别线索： 题目给出一个新数的几个幂，却要求很大的指数——先找周期，别硬乘。
• 核心关系： 底数自乘若干次能回到 1（这里是 $i^{4}=1$），幂就会循环；整圈部分不改变结果，只有余数有用。
• 可采取的动作： 用指数 ÷ 周期，商（整圈数）扔掉，拿余数去周期表里对号。
• 适用条件： 底数的某个正整数次幂等于 1。比如 $-1$ 满足 $(-1)^{2}=1$，周期是 2（奇次幂 −1、偶次幂 1）；而 2 的幂永远回不到 1，就没有这种循环，不能用这招。

检查自己是否看懂

1. $i^{2025}$ 等于多少？
2. 把原题改成 $2i^{102}+1$，答案变成多少？
3. 小明算 $2i^{100}+1$ 时说：“100 ÷ 4 = 25 整除，余 0 就是转完圈重新从第一个数起，所以 $i^{100}=i$，答案是 $2i+1$。“他错在哪一步？

查看答案与理由

第 1 题：$2025=4\times 506+1$，余 1，落在第 1 格，$i^{2025}=i$。

第 2 题：$102=4\times 25+2$，余 2，$i^{102}=i^{2}=-1$，所以 $2i^{102}+1=2\times(-1)+1=-1$。只改了指数 2，方法照用，答案从 3 变成 −1。

第 3 题：他错在“余 0 落在哪”。转完一整圈停在的是这一圈的最后一格 $i^{4}=1$，不是下一圈的第 1 格 $i$；要落在 $i$ 得余 1。最稳的写法是 $i^{100}=\left(i^{4}\right)^{25}=1$，所以正确答案是 $2\times 1+1=3$。