数轴动点与中点：怎样找全三个时刻？

20.（10 分）

【知识准备】若数轴上点 A 对应的数为 a，点 B 对应的数为 b，M 为 AB 的中点，则我们有中点公式：点 M 对应的数为 $\frac{a+b}{2}$。

【知识运用】已知数轴上 A，B 两点对应数分别为 a 和 b，且 $(a+2)^2+|b-6|=0$，P 为数轴上的一个动点。

（1）填空：a = ______，b = ______；

（2）若点 A、点 B 同时向左运动，点 A 的速度为 1 个单位长度/秒，点 B 的速度为 3 个单位长度/秒，则运动时间为 ______ 秒时，点 B 可以追上点 A，此时点 B 表示的数为 ______；

（3）若点 A、点 B 同时向左运动，它们的速度都为 1 个单位长度/秒，与此同时，点 P 从数轴上表示 −16 的点处出发，以 2 个单位长度/秒的速度向右运动，设运动时间为 t 秒，则经过多长时间后，点 A、点 B、P 三点中，其中一点是另外两点的中点？

答案：（1）a = −2，b = 6；（2）4 秒，−6；（3）2 秒、6 秒或 10 秒。

第三问的关键：A、B 同向同速，间距一直是 8；A、P、B 都有可能成为中点。

点击“播放语音演示”，看两点追及和三个中点怎样出现。每段讲完会暂停；想好了再继续。配音用“甲点、乙点、动点”，画面同时标着 A、B、P。

切到“自己拖时间”，先拖到 2 秒附近，再去找 6 秒和 10 秒。观察两侧距离：早一点或晚一点，还会相等吗？图中的 t 是题目里的运动时间；播放器显示的是讲解播放了多久。

正在准备数轴动画。下面的文字和数轴图也能完整阅读。

展开三个时刻的静态数轴图，方便对照

t = 2 秒：A 是 PB 的中点

t = 6 秒：P 是 AB 的中点

t = 10 秒：B 是 AP 的中点

（1）两个非负数相加，怎样才会等于 0？

一个数的平方不会小于 0，绝对值也不会小于 0。

两个都不小于 0 的数，只要有一个大于 0，和就会大于 0。因此，和为 0 时，它们必须都为 0：

$$(a+2)^2=0,\qquad |b-6|=0.$$

平方等于 0，底数就是 0；绝对值等于 0，里面的数也是 0。

$$a+2=0,\quad b-6=0\quad\Longrightarrow\quad \boxed{a=-2,\ b=6}.$$

所以，A 在 −2，B 在 6，两点相距：

$$AB=6-(-2)=8.$$

（2）向同一方向走，为什么用速度差？

A 在左边，B 在右边，两点都向左走。B 每秒走 3，A 每秒走 1。每过 1 秒，B 就比 A 多向左走 2，所以两点的间距缩短 2。

开始相距 8，要把这 8 个单位长度全部追完：

$$\text{追及时间}=\frac{8}{3-1}=4\text{（秒）}.$$

B 从 6 出发，向左走了 $3\times4=12$，到达：

$$6-3\times4=\boxed{-6}.$$

检查 A：$-2-1\times4=-6$。两点在同一个位置，确实追上了。

（3）先写出 t 秒后的三个位置

向左运动，表示的数减小；向右运动，表示的数增大。

用 $x_A,x_B,x_P$ 分别表示三个点当前对应的数：

$$x_A=-2-t,\qquad x_B=6-t,\qquad x_P=-16+2t.$$

代入 t = 0，仍是 −2、6、−16，和起点一致。

A、B 的位置都减去了同一个 t，所以：

$$AB=(6-t)-(-2-t)=8.$$

接下来只问：谁在中间？它到另外两点是否一样远？

① A 是中点：P 在 A 左边

从左到右是 P—A—B。因为 AB = 8，要让 A 成为 PB 的中点，就要 PA = 8。

一开始 PA = $-2-(-16)=14$。P 向右走 2，A 向左走 1，每秒相互靠近 3。间距从 14 减到 8，需要：

$$t=\frac{14-8}{2+1}=\boxed{2}\text{（秒）}.$$

代回：P 在 −12，A 在 −4，B 在 4。A 到两侧各相距 8，符合中点条件。

② P 是中点：P 在 A、B 之间

从左到右是 A—P—B。P 要平分长度为 8 的 AB，因此 AP = PB = 4。

这时可以直接用题目给出的中点公式。两个端点对应的数相加，再除以 2：

$$-16+2t=\frac{(-2-t)+(6-t)}{2}=2-t.$$

把两边同时加 t，再同时加 16，得到：

$$3t=18\quad\Longrightarrow\quad \boxed{t=6}\text{（秒）}.$$

代回：A 在 −8，P 在 −4，B 在 0。P 到两侧各相距 4，符合中点条件。

③ B 是中点：P 在 B 右边

从左到右是 A—B—P。因为 AB = 8，要让 B 成为 AP 的中点，就要 BP = 8。

P 一开始在 B 左侧 22 个单位长度处，因为 $6-(-16)=22$。

P 每秒向右走 2，B 每秒向左走 1。P 相对于 B，每秒向右移动 3。先走完左侧的 22，再到 B 右侧 8 的位置，总共要改变 30：

$$t=\frac{22+8}{2+1}=\boxed{10}\text{（秒）}.$$

代回：A 在 −12，B 在 −4，P 在 4。B 到两侧各相距 8，符合中点条件。

怎样确定没有漏掉答案？

三个点中，中点只能是 A、P 或 B。A 始终在 B 左边，以上三种位置已经全部检查。

每种位置对应的等式都是一元一次方程，各有一个解；三个时间均大于 0，而且代回都满足等距，所以答案完整。

时间	从左到右的三个点	中点	两侧距离
2 秒	P(−12)，A(−4)，B(4)	A	PA = AB = 8
6 秒	A(−8)，P(−4)，B(0)	P	AP = PB = 4
10 秒	A(−12)，B(−4)，P(4)	B	AB = BP = 8

用同一个中点公式，核对三种情况

“中点对应的数 × 2 = 两个端点对应的数之和”。先选谁是中点，再代入它们当前对应的数。

A 是中点：

$$2(-2-t)=(-16+2t)+(6-t)\ \Longrightarrow\ 3t=6\ \Longrightarrow\ t=2.$$

P 是中点：

$$2(-16+2t)=(-2-t)+(6-t)\ \Longrightarrow\ 6t=36\ \Longrightarrow\ t=6.$$

B 是中点：

$$2(6-t)=(-2-t)+(-16+2t)\ \Longrightarrow\ 3t=30\ \Longrightarrow\ t=10.$$

换一道题，先抓住哪两件事？

先用“起点 + 有方向的变化”写位置。再用“中点两侧距离相等”找关系。

题目说“三点中有一点是中点”，就把三个点都检查一遍。最后代回，并检查时间是否符合要求。

**想一想：**如果 P 一开始就在 A、B 之间，其余运动方向和速度不变，之后还一定有三个时刻吗？只需说明理由。

展开自测答案

不会再有三个时刻，之后最多有两个。P 相对于 A、B 一直向右移动，已经在 A 右边，就不会再跑到 A 左边。因此 A 不会成为另外两点的中点。

P 能否成为 AB 的中点，还要看它一开始在 AB 中点的哪一侧。B 成为 AP 中点的情形仍会在之后出现。

三种情况都要检查，但只有符合起点、方向和时间要求的解才能留下。

中考真题：回查绝对值

2024·安徽·第 1 题

1. −5 的绝对值是

A. 5　　B. −5　　C. $\frac15$　　D. $-\frac15$

展开真题答案与说明

答案：A。数轴上 −5 到 0 的距离是 5，所以 $|-5|=5$。

绝对值表示距离，结果不会小于 0。本题第（1）问就用到了这一点。

原卷扫描 PDF（第 1 页）。题干与四个选项已按原卷核对，本题没有附图。这道真题检查绝对值的意义；三点中点关系仍需结合上面的图和推导练习。