三个正方形的阴影面积：变了形，面积为什么不变？

题目

三个正方形 ABCD、BEFG、HKPF 如图放置在一起。中间正方形 BEFG 的周长是 16 厘米，求阴影部分的面积。

答案是 16 平方厘米。 关键是让阴影的两块三角形改变形状，但保持面积不变，最后正好组成中间的正方形。

先点“播放演示”看一遍，再用“上一步”“下一步”慢慢看。重点比较图上的两条虚线：原来的高 DM 和 变化后的高 BN。

正在准备阴影面积动画…

图形按题目关系重画。外侧正方形的大小用于示意，不是题目给出的已知长度；求解也不需要知道它们的边长。

① 先把阴影分成两块

连接 G、E。阴影就分成左边的 △DGE 和右边的 △KGE。

这两个三角形都可以选 EG 作为底边。接下来，我们固定这条底边，只移动它们各自对面的顶点。

② 找到原来的高：DM

三角形的面积这样算：

$$\text{三角形面积}=\text{底}\times\text{高}\div 2$$

这里的“高”不是看起来朝上的那条边。选哪条边当底，就要从对面的顶点向这条底边所在的直线作垂线。 垂线段的长度才是对应的高。

在原来的 △DGE 中，以 EG 为底，对面的顶点就是 D：

1. 把 EG 穿过 G，向左上方延长。
2. 从 D 向这条直线画一条垂线，垂足叫 M。
3. 虚线 DM 就是原来三角形的高；M 处的小方框表示 90°。

③ 让 D 滑到 B，对比两条高

连接正方形 ABCD 的对角线 DB。DB 和中间正方形的对角线 GE 都是从左上角连向右下角，倾斜方向相同，因此 DB ∥ EG。

让 D 沿着 DB 滑到 B，原来的 △DGE 就变成了 △BGE。现在从 B 向 EG 作垂线，垂足叫 N，得到新的高 BN。

在动画中，原来的虚线 DM 会保留，新的虚线 BN 也会画出来。观察两个直角标记：DM 和 BN 都与 EG 垂直。

把 DB 和 EG 想成两条笔直的平行铁轨。DM 和 BN 都是垂直跨过两条铁轨的线段。两条平行线之间的垂直距离处处一样，所以 DM＝BN。

$$S_{\triangle DGE}=EG\times DM\div 2$$ $$S_{\triangle BGE}=EG\times BN\div 2$$

两次的底边都是 EG，高又一样长，因此面积相等。D 滑动的途中也一样：形状在变，底和高都没有变，面积就没有变。 这就是“等底等高的三角形面积相等”。

④ 右边也这样移动，拼成正方形

小正方形 HKPF 的对角线 FK 与 EG 也平行。让 K 沿 KF 滑到 F，△KGE 就变成 △FGE。

它的底边仍然是 EG。K 和 F 到 EG 所在直线的垂直距离相同，因此右边这块的面积也没有变。

最后，△BGE 和 △FGE 正好是正方形 BEFG 沿对角线 EG 分成的两半：不重叠，也没有空隙。

所以，原来的阴影面积＝中间正方形 BEFG 的面积。

⑤ 用周长求面积

正方形四条边一样长，周长是 16 厘米，所以：

$$\text{边长}=16\div4=4\text{ 厘米}$$ $$\boxed{\text{阴影面积}=4\times4=16\text{ 平方厘米}}$$

检查自己是否看懂了

如果 D 沿 DB 只滑到一半，还没到 B，左边三角形的面积会改变吗？

不会。 底边仍然是 EG，移动后的顶点仍然在与 EG 平行的直线 DB 上。从这个顶点向 EG 所在直线作垂线，得到的高仍然和 DM 一样长。底不变、高不变，面积就不变；并不需要滑到 B 才成立。