路弯了，剩下的草坪为什么一样多：把路竖着切成长条

题目

如图 3-1-5①，在长为 $a$ m、宽为 $b$ m 的一块草坪上修了一条 1 m 宽的笔直小路，则余下草坪的面积应该如何表示？

现为了增加美感，把这条笔直小路改为出口宽为 1 m 且路两边平行的弯曲小路（如图 3-1-5②），则此时余下草坪的面积又该如何表示？

（图为按题意重绘的示意图：长记作 $a$ m，宽记作 $b$ m，两条小路的宽度都是 1 m。）

图①和图②的答案是一样的：余下草坪的面积都是 $ab-a$ 平方米。 路弯了，面积没变，因为改变的是路的位置，不是路的宽窄。

点开看答案（先自己想一遍）

小题	余下草坪的面积
① 笔直小路	$ab-a$ 平方米
② 弯曲小路	$ab-a$ 平方米

两条答案一样。先按“长 × 宽 − 路面积”写出图①，再用“把路竖着切成细条”的办法证明图②也是同一个式子。

先点“播放演示”听一遍讲解，再用“我自己试”拖动滑杆，把路弯成各种形状，看右边的读数会不会变。图上的数字只是举例：长 8 m、宽 5 m。

正在准备小路面积动画…

一、图①：把笔直的路“减掉”

草坪是一个长方形，长 $a$ m，宽 $b$ m，所以整块草坪的面积是：

$$\text{草坪面积}=a\times b=ab\ (\text{m}^2)$$

再看那条笔直的路。它宽 1 m，横着穿过整块草坪，所以路的“长”正好等于草坪的长 $a$ m（也就是图上标 a m 的那一边）：

$$\text{路面积}=a\times 1=a\ (\text{m}^2)$$

路把草坪分成上下两块。两块合起来，就是整块草坪减去这条路：

$$\text{余下草坪}=ab-a\ (\text{m}^2)$$

这里要留意单位：$ab$ 和 $a$ 都是面积，单位都是平方米，所以写成 $ab-a$ 平方米（或加上括号写成 $(ab-a)$ 平方米）。

二、图②：路弯了，先找“什么没变”

图②把路改成了弯曲的，可是题目给了两个条件，正好是我们要用的：

1. 出口宽 1 m：路在草坪左右两边各有一个 1 m 宽的出口；
2. 路两边平行：一条边是另一条边上下平移得到的。

因为两条边是上下平移的关系，对着竖直方向量，路每一处的厚度都是 1 m。动画里用三条蓝色的短线把这个 1 m 反复标出来，位置不同，长度一样。

三、把路竖着切开来数

现在做一个动作：沿着竖直方向，把这条弯路切成很多细长的竖条。

• 每一条竖条，上下厚度都是 1 m；
• 所有竖条的左右宽度加起来，正好是草坪的长 $a$ m：一条挨着一条，从草坪左边铺到右边，不多也不少。

所以把所有竖条的面积加起来：

$$\text{路面积}=1\times a=a\ (\text{m}^2)$$

弯曲的路面积也是 $a$ 平方米，和图①一样。所以：

$$\text{余下草坪}=ab-a\ (\text{m}^2)$$

四、容易错的地方

另一处容易漏掉的是单位：题目问“面积如何表示”，结果要写成 $ab-a$ 平方米；如果式子是 $ab-a$ 这样的和差形式，后面带单位时最好加括号，写成 $(ab-a)$ 平方米，避免误会单位只属于最后一项。

带走一句话

在长方形草坪里修一条路，求剩下的草坪：

1. 先算草坪总面积：长 × 宽；
2. 再算路面积：路的宽 × 路穿过的那条边长；
3. 只要“路的宽不变、两边平行”，路是笔直的还是弯弯曲曲的，路面积都一样。

所以：横着穿过长 a m 的路，面积是 1 × $a$；换成弯的，还是 1 × $a$。

检查自己是否看懂

自测 1：如果这条路是竖着穿过草坪的（从上到下，宽还是 1 m），余下草坪的面积怎么表示？

$ab-b$ 平方米。这时路穿过的那条边长是草坪的宽 $b$ m，所以路面积 = $b\times1=b$，余下的草坪 = $ab-b$。办法没变，只是路穿过的边长换了。

自测 2：把路加宽成 2 m（还是横着穿、两边平行，可以弯），余下草坪的面积是多少？

$ab-2a$ 平方米。竖着量，每条竖条的厚度变成 2 m；宽度加起来还是 $a$ m，所以路面积 = $2a$。剩下的草坪 = $ab-2a$。

自测 3：长 8 m、宽 5 m 的草坪，修一条 1 m 宽的弯路，剩下多少平方米？

32 平方米。$8\times5=40$，路面积 $8\times1=8$，$40-8=32$（平方米）。和修直路剩下的完全一样。