涂色正方体：怎样分清顶角、棱中、面中央和内部？

题目

一个正方体的六个表面都涂有颜色。把它的每条棱都 4 等分，再分别经过各分点用平行于正方体表面的平面切开，得到 64 个大小相同的小正方体。

请依次写出下面四类小正方体的个数：

1. 三个面涂色；
2. 两个面涂色；
3. 一个面涂色；
4. 没有面涂色。

答案：三个面、两个面、一个面、没有面涂色的小正方体，依次有 8、24、24、8 个。

这题不要一层一层地数，也不要把同一个小正方体重复计算。关键是先判断它在大正方体的哪个位置：

• 在顶角，就碰到大正方体的 3 个表面；
• 在棱中，就碰到大正方体的 2 个表面；
• 在面中央，就碰到大正方体的 1 个表面；
• 在内部，就碰不到大正方体的表面。

因此，位置已经决定了涂色面数。按“顶角 → 棱中 → 面中央 → 内部”的顺序分类，就不会漏，也不会重复。

① 顶角：三个面涂色

正方体有 8 个顶角。每个顶角处只有 1 个小正方体，它同时碰到大正方体的三个表面，所以：

$$8\times1=8\text{（个）}$$

三个面涂色的小正方体有 8 个。

② 棱中：两个面涂色

正方体有 12 条棱。每条棱上原来排着 4 个小正方体，但两端的 2 个属于顶角，已经归入“三个面涂色”，所以每条棱中间还剩：

$$4-2=2\text{（个）}$$

于是两个面涂色的小正方体有：

$$12\times(4-2)=12\times2=24\text{（个）}$$

③ 面中央：一个面涂色

正方体有 6 个面。每个面上是一个 4 × 4 的方阵。把四周在棱上的小正方体去掉，中央区域是一个 (4 − 2) × (4 − 2) 的小方阵，共有：

$$(4-2)\times(4-2)=2\times2=4\text{（个）}$$

所以一个面涂色的小正方体有：

$$6\times(4-2)^2=6\times4=24\text{（个）}$$

注意，不是从 4 × 4 中只减去 4 个角。整个外圈都在棱上；去掉上、下、左、右各一圈后，边长从 4 变成 2。

④ 内部：没有面涂色

把最外面一层去掉以后，里面留下棱长为 2 格的正方体区域，共有 2 × 2 × 2 块：

$$(4-2)^3=2^3=8\text{（个）}$$

它们都藏在大正方体内部，碰不到任何涂色表面，所以没有面涂色的小正方体有 8 个。

⑤ 在三维图中按位置分组

播放动画，依次只看顶角、棱中、面中央和内部。也可以暂停后拖动、旋转或缩放，从不同方向确认每一类的位置。

正在准备涂色正方体的三维分类演示…

⑥ 两种验算

第一种，验算小正方体总数。四类必须把全部 64 个小正方体不重不漏地分完：

$$8+24+24+8=64=4^3$$

第二种，验算涂色小面总数。大正方体有 6 个面，每个面分成 4 × 4 个涂色小面，所以一共有：

$$6\times4^2=96\text{（个涂色小面）}$$

从小正方体这边数，三面涂色的每个贡献 3 个涂色小面，两面涂色的每个贡献 2 个，一面涂色的每个贡献 1 个：

$$3\times8+2\times24+1\times24=96=96$$

两边相等，说明分类和数量互相吻合。

记住这组通用公式

如果每条棱被分成 n 份，并且 n ≥ 2，那么：

位置	涂色面数	个数
8 个顶角	3 面	8
12 条棱的中间	2 面	12(n − 2)
6 个面的中央	1 面	6(n − 2)²
大正方体内部	0 面	(n − 2)³

口诀可以压缩成一句：角看 8，棱减 2，面平方，内立方。 先认位置，再套数量，最后用总数验算。

自测：每条棱五等分

如果改成每条棱五等分，四类小正方体各有多少个？

依次是 8 个、12 × (5 − 2) = 36 个、6 × (5 − 2)² = 54 个、(5 − 2)³ = 27 个。验算：8 + 36 + 54 + 27 = 125 = 5³。