涂色正方体：怎样分清顶角、棱中、面中央和内部？

题目

一个正方体的六个表面都涂有颜色。把它的每条棱都 4 等分，再分别经过各分点用平行于正方体表面的平面切开，得到 64 个大小相同的小正方体。

请依次写出下面四类小正方体的个数：

1. 三个面涂色；
2. 两个面涂色；
3. 一个面涂色；
4. 没有面涂色。

答案：三个面、两个面、一个面、没有面涂色的小正方体，依次有 8、24、24、8 个。

一个小正方体在大正方体的什么位置，就决定了它有几个面涂色。 所以不用一层一层地数，先分位置，再数每个位置有几个。

• 在顶角：碰到大正方体的 3 个表面，3 个面涂色。
• 在棱中：碰到 2 个表面，2 个面涂色。
• 在面中央：碰到 1 个表面，1 个面涂色。
• 在内部：碰不到表面，没有面涂色。

先播放演示：它会把小正方体稍微拉开，再依次只显示“三面涂色”“两面涂色”“一面涂色”“没有涂色”的那些。暂停以后可以拖动、旋转、放大，从不同方向确认每一类在哪里。

正在准备涂色正方体的三维分类演示…

下面把每一类怎么数写成文字，方便你以后复查。

① 顶角：三个面涂色

正方体有 8 个顶角。每个顶角上只有 1 个小正方体，它同时碰到大正方体的三个表面：

$$8\times1=8\text{（个）}$$

三个面涂色的小正方体有 8 个。

② 棱中：两个面涂色

正方体有 12 条棱。每条棱上排着 4 个小正方体。两端的 2 个在顶角，已经算进“三个面涂色”了。所以每条棱中间还剩：

$$4-2=2\text{（个）}$$

两个面涂色的小正方体有：

$$12\times(4-2)=12\times2=24\text{（个）}$$

③ 面中央：一个面涂色

正方体有 6 个面。每个面上是一个 4 × 4 的方阵。最外面一圈的小正方体都在棱上，要去掉。剩下中间一个 (4 − 2) × (4 − 2) 的小方阵：

$$(4-2)\times(4-2)=2\times2=4\text{（个）}$$

一个面涂色的小正方体有：

$$6\times(4-2)^2=6\times4=24\text{（个）}$$

注意：不是从 4 × 4 里只减去 4 个角。整个外圈都在棱上。上、下、左、右各去掉一排以后，边长从 4 变成 2。

④ 内部：没有面涂色

把最外面一层全部拿掉，里面剩下一个棱长为 2 格的正方体，共有 2 × 2 × 2 块：

$$(4-2)^3=2^3=8\text{（个）}$$

它们藏在大正方体里面，碰不到任何涂色的表面。没有面涂色的小正方体有 8 个。

⑤ 两种验算

第一种，数小正方体的总数。 四类加起来，应该正好是全部 64 个：

$$8+24+24+8=64=4^3$$

第二种，数涂色小面的总数。 大正方体有 6 个面，每个面分成 4 × 4 个涂色小面：

$$6\times4^2=96\text{（个涂色小面）}$$

再从小正方体这边数：三面涂色的每个有 3 个涂色小面，两面涂色的每个有 2 个，一面涂色的每个有 1 个：

$$3\times8+2\times24+1\times24=96=96$$

两边相等，说明分类和个数都对得上。

下次遇到这类题先看什么

先问：这个小正方体在哪个位置？ 位置定了，涂色面数就定了。再数每个位置有几个。

如果每条棱分成 n 份（n ≥ 2），那么：

位置	涂色面数	个数
8 个顶角	3 面	8
12 条棱的中间	2 面	12(n − 2)
6 个面的中央	1 面	6(n − 2)²
大正方体内部	0 面	(n − 2)³

可以记一句口诀：角看 8，棱减 2，面平方，内立方。 先认位置，再算个数，最后用总数验算。

自测：每条棱五等分

如果改成每条棱五等分，四类小正方体各有多少个？

依次是 8 个、12 × (5 − 2) = 36 个、6 × (5 − 2)² = 54 个、(5 − 2)³ = 27 个。验算：8 + 36 + 54 + 27 = 125 = 5³。