正方体的11种展开图：怎样理解和记忆？

题目

一个立方体（正方体）展开成平面，有几种可能性？有什么好的办法理解和记忆？

这里按通常的课本约定讨论：只沿正方体的棱剪开，六个正方形仍连成一整片；旋转或翻面后能够完全重合的展开图，算同一种。不区分面上的数字、图案或颜色。

答案：正方体共有 11 种不同的平面展开图。 把纸转个方向，或者翻过来，如果轮廓能完全重合，就还是同一种。

六个正方形折起来，要正好占住上、下、前、后、左、右六个位置。 不能有两个面挤到同一个位置，也不能空着一个位置。

先看最重要的一张：四面围一圈，两面当盖子

把四个正方形排成一条长带，依次编号①②③④。沿三条连接边折起来，长带围成一圈，就是正方体的四个侧面。

这时还缺上面和下面。在长带的一边接一个正方形当上盖，另一边接一个正方形当下盖，就封成了正方体。

盖子接在①②③④哪一格上，折起来都盖住同一个口。所以换一换上盖、下盖接的位置，就得到不同的展开图。

把 11 种分成四组：6＋3＋1＋1

下面的数字，说的是图按这个方向摆好时，从上到下每一行有几个正方形。比如“1—4—1”就是上面一格、中间四格、下面一格。

先记一句：一四一有六种，二三一有三种，二二二、三三各一种。

行数只是帮你整理的标签。每格的左右位置也要对：只看每行的个数，不能断定它能折成正方体。 图转个方向，行数也可能变；记的时候，先摆成上图的方向。

最常见的六种，可以自己推出来

还是看四连排①②③④，上面、下面各接一个盖子。

1. 至少有一个盖子接在端头。 把图转一转或翻个面，总能让这个盖子接在①的上方。下面的盖子可以接在①、②、③、④，得到 4 种。
2. 两个盖子都接在中间。 中间只有②、③两格。左右翻转一下，总能让上面的盖子接在②。下面的盖子接②或③，又得到 2 种。

所以“1—4—1”一共有 4＋2＝6 种。先分清“有盖子接端头”和“两个都接中间”，就不会漏，也不会把镜像重复算一遍。

这六种最好理解。剩下五种，按图谱里的“二三一三种、二二二一种、三三一种”补齐。

剩下五种：看错位，沿连接边折

“2—3—1”的三种。 中间画三连格。上面画两连格，让上排右边那一格，正好接在中排左边那一格的上面。下面还剩一格，分别接在中排左、中、右三格的下方，就得到三种。上面那段不动，下面那格挪三个位置，这一组也能自己画出来。

“2—2—2”的一种。 三行各画两格，每一行都比上一行向右错开一格，像三级台阶。再看每一步怎样绕着连接边折起来。

“3—3”的一种。 两行各画三格。让下行最左边那一格，接在上行最右边那一格的下面，两行只靠这一条完整的边连着。不要画成两行对齐的长方形：对齐以后会出现四格拼成的“田”字块。

在下面的演示里，一张一张选图谱里的展开图。先看平面，再拖动进度慢慢合拢，最后转动正方体，确认没有重叠、没有缺口。平面和立体上的面号始终一样，同色的两个面折好后相对。

正在准备11种展开图的三维折叠演示…

遇到没见过的六格图，怎样判断？

先检查：是不是六个同样大的正方形，靠完整的边连成一片。然后选一个面不动，沿连接边一个一个折起来，追踪每个面最后去了哪里。

六个面各占一个位置，才是正方体展开图。

• 纸面上直接连着的两个面，折好后一定相邻。
• 纸面上没连着的两个面，折好后也可能相邻。所以不能把“没连着”直接当成“相对”。

有两个样子可以帮你很快排除：

• 有四格拼成的“田”字块，不行。 这四格共用一个顶点。正方体的每个顶点只有三个面相会，四个完整的面围不成一个角。
• 有五格或更多排成一条直线，不行。 四格已经围完一圈，第五格会折回第一格的位置，叠在一起。

怎样练，才能真正记住？

第一次： 照着图谱在方格纸上画，剪下来折一折。重点看平面里分开的边，在立体里是怎样重新合上的。

第二次： 盖住图谱。先画四连排，用“端头 4 种＋中间 2 种”画出六种，再补上另外三组。每画一张，都和前面的图比一比，去掉转个方向、翻个面就一样的图。

第三次： 给其中一张的六个面编号，先猜哪两个面相对，再折起来核对。能说清某个面去了哪里，比只认得轮廓更有用。

自测：两个盖子放在同一边会怎样？

四个正方形排成一条直带，在①和④的上方各接一格，能折成正方体吗？为什么？

不能。四连排围成四个侧面以后，两只盖子都朝同一个开口折，最后重叠；另一个开口没有面封住。把其中一只盖子接到长带的下方，才能让两个开口各有一个盖子。

把某张正确展开图旋转90°，或者翻过来，为什么不算第12种？

因为没有改变正方形之间的连接关系，整个图形仍能与原图完全重合。题目数的是不同的展开形状，朝向和纸的正反面不另算。