正方体的11种展开图：怎样理解和记忆？

题目

一个立方体（正方体）展开成平面，有几种可能性？有什么好的办法理解和记忆？

这里按通常的课本约定讨论：只沿正方体的棱剪开，六个正方形仍连成一整片；旋转或翻面后能够完全重合的展开图，算同一种。不区分面上的数字、图案或颜色。

答案：正方体共有 11 种不同的平面展开图。 把纸转个方向或翻过来，如果轮廓能完全重合，就没有增加一种。

真正要理解的是：六个正方形折起来，必须刚好占住上、下、前、后、左、右六个位置，不能有两个面挤到同一个位置。

先抓住最重要的结构：四面围一圈，两面封顶底

把四个正方形排成一条长带，依次编号①②③④。沿着三条连接边折起来，长带就能围成一圈，成为正方体的四个侧面。

这时还缺上面和下面。因此，在长带的一边接一个正方形当上盖，另一边接一个正方形当下盖，就能封成正方体。

盖子接在四个侧面中的哪一个上，都可以折到同一个开口。所以改变上、下盖的连接位置，就会得到不同的展开图。

把全部图分成四组：6＋3＋1＋1

下面的数字表示图按所示方向摆放时，从上到下每一行有几个正方形。例如“1—4—1”就是上面一格、中间四格、下面一格。

先记一句：一四一有六种，二三一有三种，二二二、三三各一种。

这些行数是帮助整理图形的标签。每格的左右位置也必须对：不能只看每行的个数，就断定能折成正方体。 图转过方向后，行数也可能改变；记忆时先摆成上图的标准方向。

最常见的六种，其实可以自己推出来

仍然看四连排①②③④，上、下各接一个盖子。

1. 至少一只盖子接在端头。 把图旋转或翻面，可以把这只盖子摆到①的上方。下面的盖子分别接在①、②、③、④，得到 4 种。
2. 两只盖子都接在中间。 中间只有②、③两格。利用左右翻转，上面的盖子可以固定在②；下面的盖子接②或③，再得到 2 种。

所以“1—4—1”一共有 4＋2＝6 种。这里的关键是先分清“有盖子接端头”和“两只都接中间”，这样既不遗漏，也不把镜像重复算进去。

这六种是最好理解的一组。剩下五种，再按图谱里的“二三一三种、二二二一种、三三一种”补齐。

剩下五种：看错位，沿连接边折

“2—3—1”的三种： 中间画三连格；上面画两连格，让上排的右边一格正好接在中排的左边一格上。下面剩下的一格，分别接在中排的左、中、右三格下方，就得到三种。上面那段先固定，下面那格挪三个位置，这一组也能自己画出来。

“2—2—2”的一种： 三行各画两格，每一行都比上一行向右错开一格，像三级阶梯。再观察每一步怎样绕连接边折起。

“3—3”的一种： 两行各画三格，让下行最左边的一格接在上行最右边的一格下面，只在端部通过一条完整的边连着。不要画成两行完全对齐的长方形；对齐后会出现四格拼成的“田”字块。

在下面的演示中，逐个选择图谱里的展开图。先看平面，再拖动进度慢慢合拢，最后转动正方体确认没有重叠、没有缺口。平面和立体上的面号始终一致，同色的两面折好后相对。

正在准备11种展开图的三维折叠演示…

遇到陌生的六格图，怎样判断？

先检查是不是六个同样大的正方形，通过完整的边连成一片。然后选一个面固定，沿连接边逐个折起，追踪每个面最后去了哪里。

最后六个面分别占住六个位置，才是正方体展开图。 纸面上直接相连的两面，折好后一定相邻；纸面上没连着的两面，折好后也可能相邻，不能直接当成相对面。

下面两个特征可以帮助快速排除：

• 有四格拼成的“田”字块，不行。 这四格共用一个平面顶点；正方体的每个顶点只能有三个面相会，四个面无法都保持完整并围成立方体的角。
• 有五格或更多排成一条直线，不行。 四格已经围完一圈，第五格会折回第一格的位置，发生重叠。

怎样练习，才能真正记住？

第一次，照着图谱在方格纸上画，剪下后折一折。重点观察平面里分开的边，是怎样在立体里重新合上的。

第二次，盖住图谱，先画四连排，用“端头4种＋中间2种”画出六种；再补上另外三组。每画一张都和前面的图比较，排除转向、翻面后的重复。

第三次，给其中一张的六个面编号，先预测哪两面相对，再折起来核对。能说清某一面去了哪里，比只认得轮廓更有用。

自测：两只盖子放在同一边会怎样？

四个正方形排成一条直带，在①和④的上方各接一格，能折成正方体吗？为什么？

不能。四连排围成四个侧面以后，两只盖子都朝同一个开口折，最后重叠；另一个开口没有面封住。把其中一只盖子接到长带的下方，才能让两个开口各有一个盖子。

把某张正确展开图旋转90°，或者翻过来，为什么不算第12种？

因为没有改变正方形之间的连接关系，整个图形仍能与原图完全重合。题目数的是不同的展开形状，朝向和纸的正反面不另算。