深国交 G1 数学入班测

答案：D，最多 13 个。

一个位置能不能放小正方体，要主视图和左视图都同意才行。

先转一转，再一层一层看

先旋转立体，看看哪些方块会被前面的挡住。再跟着讲解，分别看第一层和第二层。切换“正面”“左面”只是换个方向看，方块的摆法没有变。

两个视图各说了什么

主视图是从正面看到的形状。它有三列，从左到右高 2、1、2 层。

• 物体左右方向只有三个位置：左、中、右。
• 中间那一列最高只有 1 层，所以中间那列不能有第二层。

左视图是从左面看到的形状。它也有三列，高度同样是 2、1、2 层。

• 物体前后方向也只有三个位置：前、中、后。
• 中间那排不能有第二层。

一层一层数，最多能放几个

第一层： 左右三个位置、前后三个位置，交叉成一个 $3\times3$ 的方阵，共 9 个位置。两个视图的最下面一行都是连着的三格，所以这 9 个位置全放满，哪个视图都不会多出格子。

第二层： 既要避开“中间那列”，又要避开“中间那排”。两条限制合起来，只剩四个角，共 4 个位置。

第三层： 两个视图最高都只有两层，所以一个也不能放。

$$n\leq3\times3+2\times2=13$$

13 个真的摆得出来吗

说“最多 13 个”要做两件事：上面说明了不能比 13 更多，现在还要真的摆出 13 个。

把第一层的 9 个位置全部放满，再在四个角上各加一个。下面的表是从上面往下看，每个位置堆了几层：

位置	左	中	右
后排	2	1	2
中排	1	1	1
前排	2	1	2

从正面看，三列最高是 2、1、2；从左面看，三排最高也是 2、1、2。两个视图都和原图一样，所以 13 个摆得出来，最大值就是 13。

下次遇到这类题，先看什么

看到“由视图求最多几个小正方体”，先把每个视图读成每一列（排）最高几层。再一层一层找两个方向都允许的位置，全部放满，最后回头检查视图有没有变。

自测

如果有人把两个视图里的小正方形个数加起来，得到 10 个，为什么不对？

查看答案

不对。两个视图看的是同一个立体，不是两堆小正方体，不能相加。

同一个小正方体可能在两个视图里都出现，也可能被别的小正方体挡住、一个视图里都看不见。要按左右、前后和层数，一个位置一个位置地确定能不能放。

答案：C，个位数是 6。

个位数只跟个位数有关，而且乘来乘去会转圈。 所以不用真的算出那么大的数。

为什么只看个位就够了

看一个小例子：$23\times14$。

把 23 看成 20 + 3，把 14 看成 10 + 4。乘开以后有四部分：$20\times10$、$20\times4$、$3\times10$、$3\times4$。

前三部分都是整十数，个位是 0，不会改变个位。只有 $3\times4=12$ 决定个位，所以 $23\times14$ 的个位是 2。

3 的乘方：个位按 3、9、7、1 转圈

$$\begin{aligned}3^1&=3,&\qquad 3^2&=9,\\3^3&=27,&\qquad 3^4&=81\end{aligned}$$

个位依次是 3、9、7、1。再乘一次 3，只看个位：$1\times3=3$，回到了开头。

回到开头以后，接着乘 3，又会依次得到 9、7、1，和第一圈一模一样。所以这不是看了前四个猜出来的：个位一定按这 4 个数转圈。一圈有几个数，数学里叫作周期；这里的周期是 4。

$3^{2010}$ 的个位，是这一串个位里的第 2010 个。用 2010 除以一圈的个数：

$$2010=4\times502+2$$

数完 502 圈以后，再数 2 个，停在一圈里的第 2 个数。所以 $3^{2010}$ 的个位是 9。

4 的乘方：个位按 4、6 转圈

$$\begin{aligned}4^1&=4,&\qquad 4^2&=16,\\4^3&=64,&\qquad 4^4&=256\end{aligned}$$

个位按 4、6 转圈，2 个一圈。

$$2011=2\times1005+1$$

数完 1005 圈，再数 1 个，停在第 1 个数。所以 $4^{2011}$ 的个位是 4。也可以这样记：指数是奇数，个位是 4；指数是偶数，个位是 6。

最后把两个个位相乘

$$9\times4=36$$

积的个位是 6，选 C。

最容易错在哪里

• 指数不是乘数。 $3^{2010}$ 是 2010 个 3 相乘，不是 $3\times2010$。
• 余数是 0，不是“第 0 个”。 余数是 0 表示正好数完整圈，停在一圈的最后一个数。下面的自测就是这种情况。

下次遇到这类题，先看什么

只问个位、指数又特别大：先乘几次，找出个位的圈。再用指数除以一圈的个数，看余数停在第几个。

自测

把原式改成 $3^{2012}\cdot4^{2011}$，个位数是多少？

查看答案

个位数是 4。

$2012=4\times503$，余数是 0，正好数完 503 圈，停在一圈的最后一个数。所以 $3^{2012}$ 的个位是 1，不是 0。

另一个因数的个位仍是 4，积的个位是 $1\times4=4$。

答案： $12ab$。

先别急着把长长的 P、Q 代进去。 把 P、Q 各当成一个“整包”，先数清最后剩几包 P、几包 Q。

第一步：从最里面的小括号去起

括号前面是负号，去掉括号时，括号里的每一项都要变号。

$$-(-P-Q)=P+Q$$

于是中括号里面变成：

$$\begin{aligned}&Q-2P-(-P-Q)\\&=Q-2P+P+Q\\&=2Q-P\end{aligned}$$

合并的时候，把 P、Q 当成普通的字母就行：$-2P+P$ 是“减去两份 P，又加回一份”，剩 $-P$；$Q+Q$ 是两份 Q。

第二步：再去中括号

中括号前面也是负号，里面的两项都要变号：

$$\begin{aligned}P-(2Q-P)&=P-2Q+P\\&=2P-2Q\\&=2(P-Q)\end{aligned}$$

整个式子变成了 2 份 (P − Q)。现在只需要知道 P − Q 是多少，不用分别算 P 和 Q。

第三步：算出 P − Q

$$\begin{aligned}P-Q&=(a^2+3ab+b^2)\\&\quad-(a^2-3ab+b^2)\\&=a^2+3ab+b^2\\&\quad-a^2+3ab-b^2\\&=6ab.\end{aligned}$$

$a^2-a^2=0$，$b^2-b^2=0$，两项都抵消了。中间是“减去 $-3ab$”，等于再加一份 $3ab$，所以剩下 $6ab$。

第四步：乘上外面的 2

$$2(P-Q)=2\times6ab=12ab$$

最容易错在哪里

去括号时，只给括号里的第一项变号，后面的忘了变。记住：减去一个括号，等于把括号里的每一项都变号。

下次遇到这类题，先看什么

题目先用字母代表一长串式子，再让你算这些字母的加减：先用字母化简到最短，最后一步才代入。

自测

有人写出 $P-(2Q-P)=P-2Q-P$。错在哪里？

查看答案

最后一项的符号错了。括号里最后一项是 −P，括号前面又是负号，去括号后应该是 +P。正确结果是 $P-2Q+P=2P-2Q$。

可以代两个数检查：取 P = 1、Q = 0，原式是 $1-(0-1)=2$，错误的写法却得到 0。代数字能发现这里有错；为什么一定要变号，理由还是去括号的法则。

答案：50°。

∠MON 正好是 ∠AOB 的一半。 题目没给 ∠BOC，也用不着它。

先看清射线的顺序

从 OA 转到 OC，依次经过 OM、OB、ON。

角平分线把一个角分成两个一样大的角，每个都是原来的一半。

两个半角，都从 OC 量起

OM 平分 $\angle AOC$，所以：

$$\angle MOC=\frac12\angle AOC$$

ON 平分 $\angle BOC$，所以：

$$\angle NOC=\frac12\angle BOC$$

看图：$\angle MOC$ 由 $\angle MON$ 和 $\angle NOC$ 两块拼成。去掉靠近 OC 的那一块，剩下的就是要求的角：

$$\angle MON=\angle MOC-\angle NOC$$

把“一半”提出来

$$\begin{aligned}&\angle MON\\&=\frac12\angle AOC-\frac12\angle BOC\\&=\frac12(\angle AOC-\angle BOC)\\&=\frac12\angle AOB\\&=\frac12\times100^\circ=50^\circ.\end{aligned}$$

“等于一半的 ∠AOB”这一步为什么成立？OB 在 $\angle AOC$ 的里面，$\angle AOC$ 由 $\angle AOB$ 和 $\angle BOC$ 两块拼成。减去 $\angle BOC$，剩下的正好是 $\angle AOB$。

$\angle BOC$ 到底多大，题目没有说。相减的时候它被消掉了，所以不知道也能算。

最容易错在哪里

看到两条角平分线，就把两个半角相加。

先看两个角的位置：这里两个半角从同一条边 OC 量起，小的套在大的里面，所以是相减。如果两个角只是挨在一起、没有重叠的部分，才相加。

下次遇到这类题，先看什么

题目里有两条角平分线，要求它们的夹角：先找两个被平分的角共用的那条边，把两个半角都从这条边量起。

自测

射线的顺序和平分关系都不变，把条件改成 $\angle AOB=80^\circ$。还需要知道 $\angle BOC$ 才能求 $\angle MON$ 吗？

查看答案

不需要，∠MON = 40°。

同样有 $\angle MON=\frac12(\angle AOC-\angle BOC)=\frac12\angle AOB=40^\circ$。两个角共有的 ∠BOC 在相减时消掉了。

答案：282°。

在拐点 C 添一条平行线，把 78° 分成两块：一块和 ∠B 凑成 180°，另一块和 ∠D 凑成 180°。

先说清要求什么

图里的 $\angle B$ 是 $\angle ABC$，$\angle D$ 是 $\angle CDE$。要求的是这两个角的和，不用分别求出来。

过 C 添一条平行线 CF

过 C 向左画一条射线 CF，让 CF ∥ AB。因为 AB ∥ DE，所以 CF 也平行于 DE。

为什么向左画？这样 CF 落在 $\angle BCD$ 的里面，正好把 78° 分成上、下两块。上面一块 $\angle BCF$ 记作 u，下面一块 $\angle FCD$ 记作 v：

$$u+v=\angle BCD=78^\circ$$

两对角，各凑成 180°

先看上面：AB ∥ CF，线段 BC 穿过这两条平行线。$\angle B$ 和 u 都夹在两条平行线之间，又都在 BC 的左边。这样的一对角叫同旁内角。

两条直线平行时，同旁内角相加等于 180°。 两个角相加等于 180°，也叫这两个角互补。所以：

$$\angle B+u=180^\circ$$

再看下面：CF ∥ DE，线段 CD 穿过它们。同样的道理：

$$\angle D+v=180^\circ$$

两个式子加起来

题目要的是和，那就把两个式子相加，让 u、v 合在一起：

$$\angle B+\angle D+(u+v)=360^\circ$$

把 $u+v=78^\circ$ 代进去：

$$\begin{aligned}\angle B+\angle D&=360^\circ-78^\circ\\&=282^\circ\end{aligned}$$

u、v 各是多少，题目定不下来，也不需要知道。

最容易错在哪里

直接用“三角形的内角和是 180°”。B、C、D 三个角不在同一个三角形里：AB 和 DE 平行，左边没有封口，图形不是三角形。

下次遇到这类题，先看什么

两条平行线之间夹着一条折线：过拐点添一条平行线，把拐点的角拆成两块，分别和两边的角凑成 180°。

自测

图形的位置关系不变，把条件改成 $\angle C=90^\circ$。能求出 $\angle B+\angle D$ 吗？能分别求出 ∠B 和 ∠D 吗？

查看答案

和能求，是 270°；两个角各自的大小求不出来。

和：$360^\circ-90^\circ=270^\circ$。

各自的大小：只知道 u + v = 90°，不知道 u、v 各是多少。例如 u = 40°、v = 50° 时，两个角是 140°、130°；u = v = 45° 时，两个角都是 135°。两种情况都符合条件，所以定不下来。

答案：60°。

两次折叠，把 A 处的直角分成了一样大的三份，每份 30°。 有了 30°，后面只剩一个三角形的计算。

先看纸是怎么折的

先沿对角线 AC 折一次，再只折小三角形 AEF。播放时盯住点 B：它先到 E，再到 G。要比较角的大小时，可以暂停，切换到俯视。

演示按题目的条件画出。角的大小要靠下面的推理得到，不能在画面上量。

折叠会带来什么

把折好的纸摊开，再折回去：折痕两边的部分能完全重合。所以：

• 折痕两边对应的角相等；
• 纸只是换了位置，角的大小不变，原来的直角折过去还是直角。

下面把两次折叠分开看。

第一次折叠（沿 AC）：∠EAC = ∠BAC

沿 AC 折，点 B 落到 E，边 AB 落到 AE，折痕 AC 不动。折痕两边对应的角相等：

$$\angle EAC=\angle BAC$$

原来的直角 $\angle ABC$ 折过去变成 $\angle AEC$，所以 $\angle AEC=90^\circ$。这个直角后面要用。

第二次折叠（沿 AF）：∠EAC 是“两份”

先把最小的 $\angle DAC$ 叫作一份。现在还不知道一份是多少度，先数各个角有几份。

沿 AF 折，点 E 落到 G，边 AE 落到 AG。折痕两边对应的角相等：

$$\angle EAF=\angle FAG$$

G 在线段 AC 上，所以射线 AG 就是射线 AC。F 在线段 AD 上，所以射线 AF 就是射线 AD。这样一来，$\angle FAG$ 和 $\angle DAC$ 是同一个角：

$$\angle FAG=\angle DAC$$

所以 $\angle FAG$ 是一份，和它相等的 $\angle EAF$ 也是一份。AF 在 $\angle EAC$ 的里面，把它分成这两个小角：

$$\angle EAC=\angle EAF+\angle FAC$$

所以 $\angle EAC$ 是两份。

数一数：直角一共三份

接上第一次折叠：$\angle BAC=\angle EAC$，所以 $\angle BAC$ 也是两份。

长方形的直角 $\angle BAD$，由两份的 $\angle BAC$ 加一份的 $\angle CAD$ 拼成，一共三份：

$$\angle DAC=90^\circ\div(2+1)=30^\circ$$

同样是一份的 $\angle EAF$ 也是 30°。

到三角形 AEF 里求 ∠AFE

F 是 CE 和 AD 的交点，所以 E、F、C 在同一条直线上，射线 EF 就是射线 EC。于是 $\angle AEF=\angle AEC=90^\circ$。

三角形的三个内角加起来是 180°。在 $\triangle AEF$ 中：

$$\begin{aligned}\angle AFE&=180^\circ-90^\circ-30^\circ\\&=60^\circ\end{aligned}$$

∠DFC 和 ∠AFE 是对顶角

两条直线相交，正对着的两个角叫对顶角，对顶角相等。比如剪刀张开时，两片刀口之间的角和两个手柄之间的角，总是一样大。

这里直线 AD 和直线 CE 相交于 F。FA 和 FD 方向相反，FE 和 FC 方向相反，所以 $\angle DFC$ 与 $\angle AFE$ 正对着，是一对对顶角。它们相等的理由是：两个角都和 $\angle AFC$ 凑成 180°。

$$\angle DFC=\angle AFE=60^\circ$$

最容易错在哪里

把 $\angle AFC$ 当成答案。$\angle AFC$ 是 120°；题目要的 $\angle DFC$ 用的是向右的 FD，不是向左的 FA。

下次遇到这类题，先看什么

折叠题先找折痕：折痕两边对应的角相等。题目说“恰好落在某条线上”，就是在告诉你，折痕平分了一个角。

自测

只知道长方形沿 AC 折了一次，能不能马上说 $\angle DAC=30^\circ$？

查看答案

不能。第一次折叠只说明 $\angle EAC=\angle BAC$，还不知道其中任何一个角有多大。

第二次折叠里“E 恰好落在线段 AC 上”，才说明 $\angle EAC$ 是 $\angle DAC$ 的两倍。两个条件合起来，才能把 A 处的直角分成一样大的三份，每份 30°。

答案：$\frac12$，也就是 50%。

硬币没有记忆：前 10 次掷出什么，不影响第 11 次。

第 11 次由什么决定

概率说的是一件事发生的机会有多大，用 0 到 1 之间的数表示。比如掷一枚均匀的骰子，六个面机会一样大，掷出 6 点的概率是 $\frac16$。

题目里有两个条件：

• 硬币质地均匀。 正面、反面出现的机会一样大。
• 每次掷硬币互不影响。 前面掷出什么，不会改变这一次的机会。数学里把这叫作“独立”。

第 11 次仍然只有两种机会相等的结果，正面是其中一种：

$$P(\text{正面朝上})=\frac{1}{2}$$

所以不用去算前 10 次的各种排列，直接看这一次就够了。

8 次正面说明了什么

$\frac{8}{10}=80\%$ 是前 10 次里正面出现的频率。

频率说的是已经做过的试验：这件事出现的次数，除以一共做的次数。它记录的是过去，不是下一次正面朝上的概率。

掷的次数少的时候，频率可能离 $\frac12$ 很远：10 次里出 8 次正面，完全可能发生。

最容易错在哪里

• 填 $\frac8{10}$。 这是把过去的频率当成了下一次的概率。
• 觉得“该轮到反面了”。 硬币不会用下一次去“补回来”。
• 觉得“正面手气好，下次更容易出正面”。 题目说了硬币均匀，前面的结果改变不了硬币。

下次遇到这类题，先看什么

看到“质地均匀”“下一次”：根据硬币本身算概率。看到“掷了多少次、出现多少次”：那是频率，是过去的记录。

自测

如果前 10 次全是正面，第 11 次正面朝上的概率会变成 0 吗？

查看答案

不会，仍然是 $\frac12$。

前 10 次正面的频率是 100%，但每次掷硬币互不影响。硬币不需要用下一次的结果去补偿前面的结果。

答案：CE = 8，选 D。

两个等腰三角形各作一条高。左边的高 BH 能算出来，而它恰好等于右边的半条底边 CK。

下面一步一步证明。要用到勾股定理：直角三角形里，两条直角边的平方加起来，等于斜边的平方。比如直角边是 6 和 8，斜边就是 10，因为 $6^2+8^2=10^2$。

第一步：左边作高 BH，算出它的长度

取 AC 的中点 H，连接 BH。因为 AB = BC，△ABC 是等腰三角形；等腰三角形顶点到底边中点的连线，垂直于底边。所以：

$$\begin{aligned}&BH\perp AC,\\&CH=\frac{AC}{2}=3\end{aligned}$$

在直角三角形 BCH 里，斜边 BC = 5，一条直角边 CH = 3。用勾股定理：

$$\begin{aligned}BH^2&=BC^2-CH^2\\&=5^2-3^2=16\end{aligned}$$

长度是正数，所以 BH = 4。

第二步：右边也作高 DK

取 CE 的中点 K，连接 DK。因为 CD = DE，同样有：

$$\begin{aligned}&DK\perp CE,\\&CK=\frac{CE}{2}\end{aligned}$$

现在目标变成了：求出 CK，再乘 2。

左边的小直角三角形 BHC，三条边都知道了：3、4、5。右边的小直角三角形 CKD，只知道斜边 CD = 5。如果能说明这两个三角形全等，左边的长度就能直接用到右边。

两个三角形能完全重合，叫作全等。全等的三角形，对应的边一样长，对应的角一样大。

第三步：找一对相等的锐角

两个小直角三角形的斜边 BC、CD 已经相等。再找到一对相等的锐角，就能说明它们全等。 这就要用上题目里的 BC ⟂ CD。

A、C、E 在一条直线上，所以在 C 这里，CH 和 CK 方向相反，合成一个 180° 的平角。这个平角被 CB、CD 分成了三块：

$$\begin{aligned}&\angle BCH+\angle BCD\\&\quad+\angle DCK=180^\circ\end{aligned}$$

其中 $\angle BCD=90^\circ$，所以：

$$\angle DCK=90^\circ-\angle BCH$$

再看直角三角形 BCH。直角占了 90°，剩下两个锐角加起来也是 90°，这叫两个角互余。所以：

$$\angle CBH=90^\circ-\angle BCH$$

两个角都等于“90° 减去同一个角”，所以它们相等：$\angle CBH=\angle DCK$。一个在左图的顶点 B，一个在右图的底角 C。

第四步：全等，把 4 传过去

直角三角形 BHC 和 CKD：都有一个直角，又有一对锐角相等，所以三个角都对应相等，形状一样；斜边 BC、CD 又都是 5，大小也一样。它们能完全重合，也就是全等。

按相等的角找对应顶点：B 对应 C，H 对应 K。所以左边的高 BH，对应右边的半条底边 CK：

$$\begin{aligned}&\triangle BHC\cong\triangle CKD\\&\Longrightarrow\quad CK=BH=4\end{aligned}$$

K 是 CE 的中点，整条底边是 CK 的两倍：

$$CE=2CK=2\times4=8$$

验算

全等还告诉我们 DK = CH = 3。右边半个等腰三角形的两条直角边是 4 和 3，斜边是 5，满足 $4^2+3^2=5^2$，和题目给的 CD = DE = 5 对得上。

最容易错在哪里

求出 CK = 4 就填上去。CK 只是 CE 的一半，还要乘 2。

下次遇到这类题，先看什么

看到等腰三角形和它的底边：作底边上的高，把它分成两个直角三角形。看到两条线垂直：找“90° 减去同一个角”的两个角，它们相等，常常能带出一对全等三角形。

自测

为什么求出 CK = 4 以后，不能直接填 CE = 4？

查看答案

因为 CK 只是 CE 的一半。K 是等腰三角形 CDE 底边 CE 的中点，CK = KE。整条 CE 是两段 4 相加，等于 8。

答案：2。

两种写法是同一组数，顺序可以不同。先找最特别的数 0，看它只能是谁。

“同一组数”是什么意思

第一组是 $1,\ x,\ x+y$，第二组是 $0,\ \frac yx,\ y$。它们是同样的三个数，只是写法不同、顺序也可能不同。

所以第一组的每个数，都能在第二组里找到；但不一定在同一个位置。比如第一组的 1，不用去对第二组排在第一个的 0。

第一步：0 只能是 x + y

第二组里有 0，所以第一组的 $1,\ x,\ x+y$ 里也必须有一个是 0。一个一个看：

• 1 不等于 0。
• $\frac{y}{x}$ 的分母是 x。分母不能是 0，所以 x ≠ 0。
• 只剩下 x + y：

$$x+y=0\quad\Longrightarrow\quad y=-x$$

y 和 x 互为相反数，它们的商是 −1：

$$\frac{y}{x}=\frac{-x}{x}=-1$$

第二步：1 只能是 y

现在第二组变成了 $0,\ -1,\ y$。

第一组里有 1，第二组里也必须有 1。0 和 −1 都不是 1，所以只能是：

$$y=1,\qquad x=-1$$

第三步：代回去检查

第一组是 $1,\ -1,\ 0$，第二组是 $0,\ -1,\ 1$。确实是同样的三个数，而且互不相等，符合题目。

第四步：算乘方，只看指数是奇数还是偶数

−1 乘偶数次：两个两个配成一对，每一对 $(-1)\times(-1)=1$，所以结果是 1。1 不管乘多少次都是 1。

$$\begin{aligned}&x^{2012}+y^{2013}\\&=(-1)^{2012}+1^{2013}\\&=1+1=2\end{aligned}$$

最容易错在哪里

• 按位置一个对一个。 第一个对第一个，会得到 1 = 0，这不可能。要按“同一组数”来找。
• 为了凑出 0，直接让 x = 0。 x 在分母上，不能是 0。
• 算 $(-1)^{2012}$ 时丢了括号。 底数是整个 −1，指数 2012 是偶数，结果是 1。

下次遇到这类题，先看什么

同一组数有两种写法：先找 0、1 这样特别的数，再用“分母不能是 0”“三个数互不相等”把不可能的情况去掉。不用把所有排法都试一遍。

自测

能不能为了让第一组里有 0，直接取 x = 0？为什么？

查看答案

不能。第二组里有 $\frac yx$，分母 x 不能是 0。所以只能是 x + y = 0，这正是确定未知数的关键一步。

按原题的条件，答案有两个：64 或 547。题目给的条件定不出唯一的一个。

117 是奇数，所以 p、q 必须一奇一偶；偶数里的质数只有 2。 但题目没说谁是 2，两种情况都要算。

第一步：把“解为 1”变成等式

“方程的解为 1”的意思是：把 x = 1 代进去，等号成立。

$$\begin{aligned}&p\times1+5q=117\\&\Longrightarrow\quad p+5q=117\end{aligned}$$

第二步：用奇偶缩小范围

117 是奇数。先看 5q：5 是奇数，奇数乘奇数得奇数，奇数乘偶数得偶数，所以 5q 和 q 的奇偶一样。

• 如果 p、q 都是奇数：p + 5q 是“奇数 + 奇数”，得偶数，不会是 117。
• 如果 p、q 都是偶数：p + 5q 是“偶数 + 偶数”，也得偶数。

所以 p、q 必须一奇一偶。

质数是大于 1、只能被 1 和它自己整除的整数，比如 2、3、5、7。偶数里的质数只有 2：比 2 大的偶数都能被 2 整除，除了 1 和它自己，还多一个因数 2。

于是，p、q 里有一个是 2。可是题目没说是哪一个，只能两种都试。

情况一：p = 2

$$2+5q=117\quad\Longrightarrow\quad q=23$$

2 和 23 都是质数，符合条件。这时：

$$\begin{aligned}&5p+2q+8\\&=5\times2+2\times23+8\\&=10+46+8=64\end{aligned}$$

情况二：q = 2

$$\begin{aligned}&p+5\times2=117\\&\Longrightarrow\quad p=107\end{aligned}$$

107 是质数吗？是。 检查的办法：假如 107 能写成两个大于 1 的整数相乘，其中较小的那个因数一定小于 11，因为 $11\times11=121$ 已经比 107 大了。小于 11 的数，要么是质数 2、3、5、7，要么能被它们中的一个整除（比如 9 能被 3 整除）。而 107 不能被 2、3、5、7 中的任何一个整除，所以 107 没有这样的因数，是质数。

这一组也符合条件。这时：

$$\begin{aligned}&5p+2q+8\\&=5\times107+2\times2+8\\&=535+4+8=547\end{aligned}$$

两组都代回去检查

• 第一组：方程是 $2x+115=117$，解是 x = 1。
• 第二组：方程是 $107x+10=117$，解也是 x = 1。

两种情况里 p 都不是 0，方程都是一元一次方程。所以这两组数满足的是原题的全部条件，不是只满足中间某一个等式。

为什么不能只填一个

题目里没有别的条件能去掉其中一种，所以 64 和 547 都要写。

不能为了只填一个数，自己悄悄加上“p 比 q 小”这样的条件。原题留下两个不同的结果，说明它少给了一个条件。

最容易错在哪里

看到“有一个是 2”，就直接认定 p = 2，漏掉 q = 2。推理只能得到“其中一个是 2”。

下次遇到这类题，先看什么

看到“质数”，又看到和是奇数：先想到唯一的偶质数 2，用它把范围缩到很小，再分情况检查。

自测

如果题目另外加一个条件“p 小于 q”，答案还会有两个吗？

查看答案

不会，这时答案只有 64。

只有 p = 2、q = 23 满足 p 小于 q；p = 107、q = 2 不满足。注意：这是加了条件以后的新题，原题没有这个限制。

答案：−1。

前面一长串加起来，正好比“下一项” $2^{2009}$ 少 1。 再减去 $2^{2009}$，就剩 −1。

先用短的一串看清楚

取前四项：$1+2+4+8$。把它乘 2，每一项都变成原来的后一项：

$$\begin{aligned}\text{原来：}&\ 1+2+4+8\\\text{乘 2：}&\ \phantom{1+{}}2+4+8+16\end{aligned}$$

两行里的 2、4、8 一模一样。用下面一行减去上面一行，它们全部抵消，只剩新串末尾的 16 和旧串开头的 1：

$$16-1=15$$

“两份减一份”正好剩一份，所以 $1+2+4+8=15$，比下一项 16 少 1。长的一串也照这样做。

第一步：把正数部分记作 S

先把末尾的 $-2^{2009}$ 留在外面：

$$S=1+2+2^2+\cdots+2^{2008}$$

第二步：整串乘 2

每一项乘 2，指数加 1，正好挪到原来下一项的位置：

$$2S=2+2^2+2^3+\cdots+2^{2009}$$

第三步：相减，中间全部抵消

两个式子里，从 2 到 $2^{2008}$ 的项完全一样，相减时都是“自己减自己”。2S 多出末尾的 $2^{2009}$，S 多出开头的 1：

$$\begin{aligned}&2S-S=2^{2009}-1\\&\Longrightarrow\quad S=2^{2009}-1\end{aligned}$$

左边 2S − S 正好是一份 S。

第四步：回到原式

原式是 S 再减去 $2^{2009}$：

$$\begin{aligned}S-2^{2009}&=(2^{2009}-1)-2^{2009}\\&=-1\end{aligned}$$

短的一串帮我们看出了规律。长的一串为什么也成立，靠的是上面的逐项抵消。

最容易错在哪里

• 乘 2 以后指数只加 1。 $2^{2008}\times2=2^{2009}$，是下一项。不要把指数 2008 当成乘数去乘。
• 忘了题目末尾的 $-2^{2009}$。 求出 S 还没做完。

下次遇到这类题，先看什么

一长串数相加，每一项都是前一项的同一个倍数：把整串乘这个倍数，让两串错开一位，再相减。这里乘的是 2，因为后一项正好是前一项的 2 倍。

想看“补一个 1、连续合并”的直观理由，见转化与构造：补一个一，让长串自己合起来。

自测

$1+2+4+8-16$ 等于多少？它为什么能帮你检查这道题？

查看答案

等于 −1。前四项的和是 15，正好比下一项 16 少 1。

它和原题是同一种样子：从 1 开始、连续翻倍，最后减去下一项。不过短串只是一个例子，长串为什么成立，还要靠乘 2 以后逐项抵消。

答案：10121 根。

第一个六边形用 6 根，以后每接上一个，只要再添 5 根。

接上一个，为什么只添 5 根

图里的六边形排成一行，相邻的两个共用一条边，每条边用一根火柴。

第一个六边形有 6 条边，用 6 根。

从第二个开始，每接上一个六边形，它有一条边已经摆好了，就是和前一个共用的那条。所以只要再添 6 − 1 = 5 根。

算出 2024 个

一共 2024 个六边形：第一个用 6 根，后面还有 2023 个，每个添 5 根。

$$\begin{aligned}&6+5\times(2024-1)\\&=6+5\times2023\\&=10121\text{ 根}\end{aligned}$$

换一种数法核对

先把每个六边形都当成单独的，各数 6 根，一共 $6\times2024=12144$ 根。

这样数，每条共用的边被左右两个六边形各数了一次，多数了 1 次。实际上那里只有一根火柴，所以每条共用的边要减掉 1。

共用的边有几条？每接上一个六边形，多一条共用的边。2024 个六边形一共接了 2023 次，就有 2023 条。

$$\begin{aligned}&6\times2024-2023\\&=12144-2023\\&=10121\text{ 根}\end{aligned}$$

两种数法结果一样。

写成一个式子

照这种接法，n 个六边形（n 是 1、2、3……）用的火柴根数是：

$$6+5(n-1)=5n+1$$

最容易错在哪里

• 直接算 6 × 2024。 这是把每个六边形都当成单独的，共用的边多数了。
• 每条共用的边减 2。 多数的只有 1 次，那根火柴本身还在，只能减 1。

这个式子什么时候不能直接用

它只适用于这样的接法：排成一行，相邻两个只共用一条边。如果摆成好几排的蜂窝，或者首尾相接围成一圈，共用的边数就变了，要重新数。

下次遇到这类题，先看什么

图形一个接一个地变多：先看第一个用多少，再看每多一个实际新添多少。

自测

两个六边形共用一条边时，为什么是 $6\times2-1$，不是 $6\times2-2$？

查看答案

因为共用的那根火柴还在，只是被多数了一次。

$6\times2$ 把共用的边数了两次，只要去掉多数的那一次：$12-1=11$ 根。