多层括号中的整式化简

题目

若 $P=a^2+3ab+b^2$，$Q=a^2-3ab+b^2$，化简代数式

$$P-[Q-2P-(-P-Q)]$$

答案： $12ab$。

先把 P、Q 当作整体

把 $-2P+P$ 看成“减去两份 P，再加回一份 P”，就剩下 $-P$；$Q+Q$ 则是两份 Q。这与普通字母式的合并方法相同。

最里面的括号前有负号，去掉括号时，每一项都要变号：

$$-(-P-Q)=P+Q$$

因此中括号内变成：

$$Q-2P-(-P-Q)=Q-2P+P+Q=2Q-P$$

再处理中括号前的负号：

$$P-(2Q-P)=P-2Q+P=2P-2Q=2(P-Q)$$

再代入 P 与 Q

现在只需要 P 与 Q 的差。$a^2-a^2=0$、$b^2-b^2=0$；中间一项则是减去负的 $3ab$，相当于再加一份 $3ab$：

$$\begin{aligned}P-Q&=(a^2+3ab+b^2)-(a^2-3ab+b^2)\\&=a^2+3ab+b^2-a^2+3ab-b^2\\&=6ab.\end{aligned}$$

所以原式为：

$$2(P-Q)=2\times6ab=12ab$$

关键不是“见到负号就随便换号”，而是：减去一个整体，等于把这个整体内每一项的符号都改变。

自测

有人写出 $P-(2Q-P)=P-2Q-P$。错在哪里？

查看答案

括号内最后一项是 −P，括号前又有负号，所以去括号后应是 +P。正确结果是 $P-2Q+P=2P-2Q$。

可以代入 P = 1、Q = 0 检查：原式这一行是 $1-(0-1)=2$，错误写法却得到 0。代数值能发现这处错误，但普遍成立的理由仍是去括号法则。