多层括号中的整式化简

题目

若 $P=a^2+3ab+b^2$，$Q=a^2-3ab+b^2$，化简代数式

$$P-[Q-2P-(-P-Q)]$$

答案： $12ab$。

先别急着把长长的 P、Q 代进去。 把 P、Q 各当成一个“整包”，先数清最后剩几包 P、几包 Q。

第一步：从最里面的小括号去起

括号前面是负号，去掉括号时，括号里的每一项都要变号。

$$-(-P-Q)=P+Q$$

于是中括号里面变成：

$$\begin{aligned}&Q-2P-(-P-Q)\\&=Q-2P+P+Q\\&=2Q-P\end{aligned}$$

合并的时候，把 P、Q 当成普通的字母就行：$-2P+P$ 是“减去两份 P，又加回一份”，剩 $-P$；$Q+Q$ 是两份 Q。

第二步：再去中括号

中括号前面也是负号，里面的两项都要变号：

$$\begin{aligned}P-(2Q-P)&=P-2Q+P\\&=2P-2Q\\&=2(P-Q)\end{aligned}$$

整个式子变成了 2 份 (P − Q)。现在只需要知道 P − Q 是多少，不用分别算 P 和 Q。

第三步：算出 P − Q

$$\begin{aligned}P-Q&=(a^2+3ab+b^2)\\&\quad-(a^2-3ab+b^2)\\&=a^2+3ab+b^2\\&\quad-a^2+3ab-b^2\\&=6ab.\end{aligned}$$

$a^2-a^2=0$，$b^2-b^2=0$，两项都抵消了。中间是“减去 $-3ab$”，等于再加一份 $3ab$，所以剩下 $6ab$。

第四步：乘上外面的 2

$$2(P-Q)=2\times6ab=12ab$$

最容易错在哪里

去括号时，只给括号里的第一项变号，后面的忘了变。记住：减去一个括号，等于把括号里的每一项都变号。

下次遇到这类题，先看什么

题目先用字母代表一长串式子，再让你算这些字母的加减：先用字母化简到最短，最后一步才代入。

自测

有人写出 $P-(2Q-P)=P-2Q-P$。错在哪里？

查看答案

最后一项的符号错了。括号里最后一项是 −P，括号前面又是负号，去括号后应该是 +P。正确结果是 $P-2Q+P=2P-2Q$。

可以代两个数检查：取 P = 1、Q = 0，原式是 $1-(0-1)=2$，错误的写法却得到 0。代数字能发现这里有错；为什么一定要变号，理由还是去括号的法则。