用循环确定大指数乘积的个位数

题目

（单选）$3^{2010}\cdot4^{2011}$ 的个位数是（　）。

• A. 2
• B. 4
• C. 6
• D. 8

答案：C，个位数是 6。

个位数只跟个位数有关，而且乘来乘去会转圈。 所以不用真的算出那么大的数。

为什么只看个位就够了

看一个小例子：$23\times14$。

把 23 看成 20 + 3，把 14 看成 10 + 4。乘开以后有四部分：$20\times10$、$20\times4$、$3\times10$、$3\times4$。

前三部分都是整十数，个位是 0，不会改变个位。只有 $3\times4=12$ 决定个位，所以 $23\times14$ 的个位是 2。

3 的乘方：个位按 3、9、7、1 转圈

$$\begin{aligned}3^1&=3,&\qquad 3^2&=9,\\3^3&=27,&\qquad 3^4&=81\end{aligned}$$

个位依次是 3、9、7、1。再乘一次 3，只看个位：$1\times3=3$，回到了开头。

回到开头以后，接着乘 3，又会依次得到 9、7、1，和第一圈一模一样。所以这不是看了前四个猜出来的：个位一定按这 4 个数转圈。一圈有几个数，数学里叫作周期；这里的周期是 4。

$3^{2010}$ 的个位，是这一串个位里的第 2010 个。用 2010 除以一圈的个数：

$$2010=4\times502+2$$

数完 502 圈以后，再数 2 个，停在一圈里的第 2 个数。所以 $3^{2010}$ 的个位是 9。

4 的乘方：个位按 4、6 转圈

$$\begin{aligned}4^1&=4,&\qquad 4^2&=16,\\4^3&=64,&\qquad 4^4&=256\end{aligned}$$

个位按 4、6 转圈，2 个一圈。

$$2011=2\times1005+1$$

数完 1005 圈，再数 1 个，停在第 1 个数。所以 $4^{2011}$ 的个位是 4。也可以这样记：指数是奇数，个位是 4；指数是偶数，个位是 6。

最后把两个个位相乘

$$9\times4=36$$

积的个位是 6，选 C。

最容易错在哪里

• 指数不是乘数。 $3^{2010}$ 是 2010 个 3 相乘，不是 $3\times2010$。
• 余数是 0，不是“第 0 个”。 余数是 0 表示正好数完整圈，停在一圈的最后一个数。下面的自测就是这种情况。

下次遇到这类题，先看什么

只问个位、指数又特别大：先乘几次，找出个位的圈。再用指数除以一圈的个数，看余数停在第几个。

自测

把原式改成 $3^{2012}\cdot4^{2011}$，个位数是多少？

查看答案

个位数是 4。

$2012=4\times503$，余数是 0，正好数完 503 圈，停在一圈的最后一个数。所以 $3^{2012}$ 的个位是 1，不是 0。

另一个因数的个位仍是 4，积的个位是 $1\times4=4$。