用循环确定大指数乘积的个位数

题目

（单选）$3^{2010}\cdot4^{2011}$ 的个位数是（　）。

• A. 2
• B. 4
• C. 6
• D. 8

答案：C，个位数是 6。

例如，$23\times14=(20+3)(10+4)$，乘开的四部分中，含 20 或 10 的三部分都是整十数，只有 $3\times4=12$ 决定个位。因此整个乘积的个位也是 2。

找到 3 的幂的循环

$$3^1=3,\quad3^2=9,\quad3^3=27,\quad3^4=81$$

个位数依次是 3、9、7、1。接着只看个位：$1\times3=3$，回到开头。此后再乘 3，就仍然依次得到 9、7、1，所以这不是只看前四项的猜测，而是一个会重复的四步循环。

$$2010=4\times502+2$$

经过 502 个完整周期后，还多两步，所以 $3^{2010}$ 的个位是循环中的第二个数 9。

找到 4 的幂的循环

$$4^1=4,\quad4^2=16,\quad4^3=64,\quad4^4=256$$

个位按 4、6 循环。奇数次幂的个位是 4，偶数次幂的个位是 6。2011 是奇数，所以 $4^{2011}$ 的个位是 4。

最后再相乘

$$9\times4=36$$

因此原式的个位数是 6。

要注意：指数是“乘了多少次”，不是与底数相乘的因数。 不能把原式理解为 $3\times2010\times4\times2011$。

自测

若把原式改为 $3^{2012}\cdot4^{2011}$，个位数是多少？

查看答案

$2012=4\times503$，余数为 0，表示落在一个完整周期的末尾，因此 $3^{2012}$ 的个位是 1，不是 0。另一个因数的个位仍是 4，乘积的个位为 $1\times4=4$。