由两个视图确定小正方体的最大数量

题目

（单选）由 $n$ 个大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图如图所示，则 $n$ 的最大值为（　）。

• A. 5
• B. 6
• C. 7
• D. 13

答案：D，最多 13 个。

3D 分层观察：两个方向共同允许哪些位置？

先旋转看看哪些方块被遮住，再跟着讲解分别看第一层和第二层。切换正面与左面，只改变观察方向，不改变方块的摆法。

先读出两个方向的限制

主视图表示从正面看到的形状。它有三列，高度依次是 2、1、2，所以物体左右只有三个位置，中间那列不能出现第二层。

左视图表示从左面看到的形状。它也有三列，高度依次是 2、1、2，所以物体前后也只有三个位置，中间那排不能出现第二层。

这里的“不能出现第二层”约束整列或整排。即使把小正方体往后藏，只要放到第二层，从对应方向看就会出现原图中没有的方格，视图仍然会改变。

分层求上限

第一层： 左右三个位置、前后三个位置，交叉形成一个 $3\times3$ 的方阵，共 9 个位置。两个视图的底层都是连续三格，把这九个位置放满，不会在任何方向增加原图之外的方格。

第二层： 必须同时避开“中间那列”和“中间那排”，只剩四个角的位置可以放，共 4 个。

第三层及以上： 两个视图的最高处都是两层，因此不能再放。

$$n\leq3\times3+2\times2=13$$

检查 13 个是否真的摆得出来

把第一层的九个位置全部放满，再在四个角上各放一个。下面的表格表示从上方看时，每个位置堆了几层：

位置	左	中	右
后排	2	1	2
中排	1	1	1
前排	2	1	2

从正面看，三列最高处是 2、1、2；从左面看，三排最高处也为 2、1、2，恰好符合原图。所以上限能达到，最大值就是 13。

自测

如果有人把两个视图里的小正方形数相加，得到 10 个，为什么不对？

查看答案

两个视图是在两个方向观察同一个立体，不能当作两堆不同的小正方体相加。同一个小正方体可能出现在两个视图中，也可能被别的小正方体遮住。应该按左右、前后和层数三个方向确定可放的位置。