由两个视图确定小正方体的最大数量

题目

（单选）由 $n$ 个大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图如图所示，则 $n$ 的最大值为（　）。

• A. 5
• B. 6
• C. 7
• D. 13

答案：D，最多 13 个。

一个位置能不能放小正方体，要主视图和左视图都同意才行。

先转一转，再一层一层看

先旋转立体，看看哪些方块会被前面的挡住。再跟着讲解，分别看第一层和第二层。切换“正面”“左面”只是换个方向看，方块的摆法没有变。

两个视图各说了什么

主视图是从正面看到的形状。它有三列，从左到右高 2、1、2 层。

• 物体左右方向只有三个位置：左、中、右。
• 中间那一列最高只有 1 层，所以中间那列不能有第二层。

左视图是从左面看到的形状。它也有三列，高度同样是 2、1、2 层。

• 物体前后方向也只有三个位置：前、中、后。
• 中间那排不能有第二层。

一层一层数，最多能放几个

第一层： 左右三个位置、前后三个位置，交叉成一个 $3\times3$ 的方阵，共 9 个位置。两个视图的最下面一行都是连着的三格，所以这 9 个位置全放满，哪个视图都不会多出格子。

第二层： 既要避开“中间那列”，又要避开“中间那排”。两条限制合起来，只剩四个角，共 4 个位置。

第三层： 两个视图最高都只有两层，所以一个也不能放。

$$n\leq3\times3+2\times2=13$$

13 个真的摆得出来吗

说“最多 13 个”要做两件事：上面说明了不能比 13 更多，现在还要真的摆出 13 个。

把第一层的 9 个位置全部放满，再在四个角上各加一个。下面的表是从上面往下看，每个位置堆了几层：

位置	左	中	右
后排	2	1	2
中排	1	1	1
前排	2	1	2

从正面看，三列最高是 2、1、2；从左面看，三排最高也是 2、1、2。两个视图都和原图一样，所以 13 个摆得出来，最大值就是 13。

下次遇到这类题，先看什么

看到“由视图求最多几个小正方体”，先把每个视图读成每一列（排）最高几层。再一层一层找两个方向都允许的位置，全部放满，最后回头检查视图有没有变。

自测

如果有人把两个视图里的小正方形个数加起来，得到 10 个，为什么不对？

查看答案

不对。两个视图看的是同一个立体，不是两堆小正方体，不能相加。

同一个小正方体可能在两个视图里都出现，也可能被别的小正方体挡住、一个视图里都看不见。要按左右、前后和层数，一个位置一个位置地确定能不能放。