用角平分线求两个角的差

题目

如图，$\angle AOB=100^\circ$，$OM$ 平分 $\angle AOC$，$ON$ 平分 $\angle BOC$，则 $\angle MON=$ ______。

答案：50°。

先沿图确认位置：从 OA 向 OC 转动，依次经过 OM、OB、ON。角平分线的意思是把一个角分成两个大小相等的角，每个都是原角的一半。

把两个角都从 OC 量起

OM 平分 $\angle AOC$，所以：

$$\angle MOC=\frac12\angle AOC$$

ON 平分 $\angle BOC$，所以：

$$\angle NOC=\frac12\angle BOC$$

较大的 $\angle MOC$ 由 $\angle MON$ 与 $\angle NOC$ 两部分组成。减去靠近 OC 的后一部分，才会剩下所求的角：

$$\angle MON=\angle MOC-\angle NOC$$

大角减去小角，剩下已知角

$$\begin{aligned}\angle MON&=\frac12(\angle AOC-\angle BOC)\\&=\frac12\angle AOB\\&=\frac12\times100^\circ=50^\circ.\end{aligned}$$

第二行成立，是因为 OB 位于 $\angle AOC$ 内，减去 $\angle BOC$ 后正好剩下 $\angle AOB$。

先判断角之间是包含、相邻还是分离，再决定加减。 不能只看见“两条角平分线”，就直接把两个半角相加。

自测

保持图中射线顺序及平分关系不变，若 $\angle AOB=80^\circ$，还需要知道 $\angle BOC$ 才能求 $\angle MON$ 吗？

查看答案

不需要。同样有 $\angle MON=\frac12(\angle AOC-\angle BOC)=\frac12\angle AOB=40^\circ$。两个大、小角共有的部分在相减时抵消了。