用角平分线求两个角的差

题目

如图，$\angle AOB=100^\circ$，$OM$ 平分 $\angle AOC$，$ON$ 平分 $\angle BOC$，则 $\angle MON=$ ______。

答案：50°。

∠MON 正好是 ∠AOB 的一半。 题目没给 ∠BOC，也用不着它。

先看清射线的顺序

从 OA 转到 OC，依次经过 OM、OB、ON。

角平分线把一个角分成两个一样大的角，每个都是原来的一半。

两个半角，都从 OC 量起

OM 平分 $\angle AOC$，所以：

$$\angle MOC=\frac12\angle AOC$$

ON 平分 $\angle BOC$，所以：

$$\angle NOC=\frac12\angle BOC$$

看图：$\angle MOC$ 由 $\angle MON$ 和 $\angle NOC$ 两块拼成。去掉靠近 OC 的那一块，剩下的就是要求的角：

$$\angle MON=\angle MOC-\angle NOC$$

把“一半”提出来

$$\begin{aligned}&\angle MON\\&=\frac12\angle AOC-\frac12\angle BOC\\&=\frac12(\angle AOC-\angle BOC)\\&=\frac12\angle AOB\\&=\frac12\times100^\circ=50^\circ.\end{aligned}$$

“等于一半的 ∠AOB”这一步为什么成立？OB 在 $\angle AOC$ 的里面，$\angle AOC$ 由 $\angle AOB$ 和 $\angle BOC$ 两块拼成。减去 $\angle BOC$，剩下的正好是 $\angle AOB$。

$\angle BOC$ 到底多大，题目没有说。相减的时候它被消掉了，所以不知道也能算。

最容易错在哪里

看到两条角平分线，就把两个半角相加。

先看两个角的位置：这里两个半角从同一条边 OC 量起，小的套在大的里面，所以是相减。如果两个角只是挨在一起、没有重叠的部分，才相加。

下次遇到这类题，先看什么

题目里有两条角平分线，要求它们的夹角：先找两个被平分的角共用的那条边，把两个半角都从这条边量起。

自测

射线的顺序和平分关系都不变，把条件改成 $\angle AOB=80^\circ$。还需要知道 $\angle BOC$ 才能求 $\angle MON$ 吗？

查看答案

不需要，∠MON = 40°。

同样有 $\angle MON=\frac12(\angle AOC-\angle BOC)=\frac12\angle AOB=40^\circ$。两个角共有的 ∠BOC 在相减时消掉了。