平行线与折线中的角度和

题目

如图，$AB\parallel DE$，$\angle C=78^\circ$，则 $\angle B+\angle D=$ ______。

答案：282°。

在拐点 C 添一条平行线，把 78° 分成两块：一块和 ∠B 凑成 180°，另一块和 ∠D 凑成 180°。

先说清要求什么

图里的 $\angle B$ 是 $\angle ABC$，$\angle D$ 是 $\angle CDE$。要求的是这两个角的和，不用分别求出来。

过 C 添一条平行线 CF

过 C 向左画一条射线 CF，让 CF ∥ AB。因为 AB ∥ DE，所以 CF 也平行于 DE。

为什么向左画？这样 CF 落在 $\angle BCD$ 的里面，正好把 78° 分成上、下两块。上面一块 $\angle BCF$ 记作 u，下面一块 $\angle FCD$ 记作 v：

$$u+v=\angle BCD=78^\circ$$

两对角，各凑成 180°

先看上面：AB ∥ CF，线段 BC 穿过这两条平行线。$\angle B$ 和 u 都夹在两条平行线之间，又都在 BC 的左边。这样的一对角叫同旁内角。

两条直线平行时，同旁内角相加等于 180°。 两个角相加等于 180°，也叫这两个角互补。所以：

$$\angle B+u=180^\circ$$

再看下面：CF ∥ DE，线段 CD 穿过它们。同样的道理：

$$\angle D+v=180^\circ$$

两个式子加起来

题目要的是和，那就把两个式子相加，让 u、v 合在一起：

$$\angle B+\angle D+(u+v)=360^\circ$$

把 $u+v=78^\circ$ 代进去：

$$\begin{aligned}\angle B+\angle D&=360^\circ-78^\circ\\&=282^\circ\end{aligned}$$

u、v 各是多少，题目定不下来，也不需要知道。

最容易错在哪里

直接用“三角形的内角和是 180°”。B、C、D 三个角不在同一个三角形里：AB 和 DE 平行，左边没有封口，图形不是三角形。

下次遇到这类题，先看什么

两条平行线之间夹着一条折线：过拐点添一条平行线，把拐点的角拆成两块，分别和两边的角凑成 180°。

自测

图形的位置关系不变，把条件改成 $\angle C=90^\circ$。能求出 $\angle B+\angle D$ 吗？能分别求出 ∠B 和 ∠D 吗？

查看答案

和能求，是 270°；两个角各自的大小求不出来。

和：$360^\circ-90^\circ=270^\circ$。

各自的大小：只知道 u + v = 90°，不知道 u、v 各是多少。例如 u = 40°、v = 50° 时，两个角是 140°、130°；u = v = 45° 时，两个角都是 135°。两种情况都符合条件，所以定不下来。