平行线与折线中的角度和

题目

如图，$AB\parallel DE$，$\angle C=78^\circ$，则 $\angle B+\angle D=$ ______。

答案：282°。

原图中的 $\angle B$ 是 $\angle ABC$，$\angle D$ 是 $\angle CDE$，要求的是这两个角的和。

过 C 补出一条平行射线

过 C 向左作射线 CF，使它平行于 AB，也就平行于 DE。选择向左，是为了让 CF 落在 $\angle BCD$ 内，把已知的 78° 完整分成上下两个角。

设 $\angle BCF=u$、$\angle FCD=v$，则：

$$u+v=\angle BCD=78^\circ$$

这里 F 只是新加在射线上的辅助点，不是原题已知条件。

用两组同旁内角互补

想象把 B 处的角保持方向平移到 C：BA 与 CF 同向，而 BC 的方向与 CB 正好相反。搬来的角 B 与 $\angle BCF$ 一边重合、另一边反向，所以合起来是一个平角，也就是 180°：

$$\angle B+u=180^\circ$$

这两个角夹在平行线 AB、CF 之间，位于 BC 的同一侧，叫作“同旁内角”。两个角相加为 180°，叫作“互补”。

同理，CD 截两条平行线 CF、DE，得到：

$$\angle D+v=180^\circ$$

不必继续分别求 u、v，因为题目要求的也是一个和。将两式相加，就能把 u、v 合在一起：

$$\angle B+\angle D+(u+v)=360^\circ$$

代入 $u+v=78^\circ$：

$$\angle B+\angle D=360^\circ-78^\circ=282^\circ$$

本题不能直接用“三角形内角和为 180°”，因为题目中的 B、C、D 三个角并不是同一个三角形的三个内角。遇到两条平行线之间的折线，可以过拐点补平行线，把折线两边分别接到平行线性质上。

自测

保持图形的位置关系，若 $\angle C=90^\circ$，能否求出 $\angle B+\angle D$？能否分别确定它们？

查看答案

和可以确定，为 $360^\circ-90^\circ=270^\circ$。但两个角各自的大小不能唯一确定，因为只知道 u + v = 90°，不知道 u、v 分别是多少。例如 u = 40°、v = 50° 时，两角是 140°、130°；u = v = 45° 时，两角都是 135°。