问爸WENBA

把问题讲明白

← 返回整份试卷
wanlufei 的试卷深国交 G1 数学入班测第 6 / 12 题 · 8 分

两次折叠中的角平分关系

两次折叠把 A 处的直角分成一样大的三份，每份 30°；再到三角形 AEF 里求 ∠AFE，它和所求的 ∠DFC 是对顶角。

题目

小敏将图 1 中的长方形纸片 ABCDABCD 沿对角线 ACAC 折叠，点 BB 落在点 EE 的位置，CECE 与 ADAD 交于点 FF，如图 2，再将 △AEF\triangle AEF 沿 AFAF 折叠，点 EE 恰好落在线段 ACAC 上的点 GG 的位置，如图 3，则 ∠DFC=\angle DFC= ______°。

图 1：长方形 ABCD，A 在左上、B 在左下、C 在右下、D 在右上，四个角均为直角，实线连接对角线 AC。图 2：沿对角线 AC 折叠后，B 翻到长方形上方的 E 处；折起的三角形 AEC 与 CE、AD 的交点 F 清晰可见，B 的原位置用虚线画出。图 3：三角形 AEF 沿 AF 再折叠后，E 落在对角线 AC 上的 G 处；纸的外轮廓是三角形 ACD，折过来的小三角形 AGF 涂浅色，E 的原位置用虚线画出。

答案：60°。

两次折叠，把 A 处的直角分成了一样大的三份，每份 30°。 有了 30°，后面只剩一个三角形的计算。

先看纸是怎么折的

先沿对角线 AC 折一次，再只折小三角形 AEF。播放时盯住点 B：它先到 E，再到 G。要比较角的大小时，可以暂停，切换到俯视。

演示按题目的条件画出。角的大小要靠下面的推理得到，不能在画面上量。

折叠会带来什么

把折好的纸摊开，再折回去：折痕两边的部分能完全重合。所以：

  • 折痕两边对应的角相等；
  • 纸只是换了位置，角的大小不变，原来的直角折过去还是直角。

下面把两次折叠分开看。

第一次折叠（沿 AC）：∠EAC = ∠BAC

沿 AC 折，点 B 落到 E，边 AB 落到 AE，折痕 AC 不动。折痕两边对应的角相等：

∠EAC=∠BAC\angle EAC=\angle BAC

原来的直角 ∠ABC\angle ABC 折过去变成 ∠AEC\angle AEC，所以 ∠AEC=90∘\angle AEC=90^\circ。这个直角后面要用。

第二次折叠（沿 AF）：∠EAC 是“两份”

先把最小的 ∠DAC\angle DAC 叫作一份。现在还不知道一份是多少度，先数各个角有几份。

沿 AF 折，点 E 落到 G，边 AE 落到 AG。折痕两边对应的角相等：

∠EAF=∠FAG\angle EAF=\angle FAG

G 在线段 AC 上，所以射线 AG 就是射线 AC。F 在线段 AD 上，所以射线 AF 就是射线 AD。这样一来，∠FAG\angle FAG 和 ∠DAC\angle DAC 是同一个角：

∠FAG=∠DAC\angle FAG=\angle DAC

所以 ∠FAG\angle FAG 是一份，和它相等的 ∠EAF\angle EAF 也是一份。AF 在 ∠EAC\angle EAC 的里面，把它分成这两个小角：

∠EAC=∠EAF+∠FAC\angle EAC=\angle EAF+\angle FAC

所以 ∠EAC\angle EAC 是两份。

数一数：直角一共三份

接上第一次折叠：∠BAC=∠EAC\angle BAC=\angle EAC，所以 ∠BAC\angle BAC 也是两份。

长方形的直角 ∠BAD\angle BAD，由两份的 ∠BAC\angle BAC 加一份的 ∠CAD\angle CAD 拼成，一共三份：

∠DAC=90∘÷(2+1)=30∘\angle DAC=90^\circ\div(2+1)=30^\circ

同样是一份的 ∠EAF\angle EAF 也是 30°。

到三角形 AEF 里求 ∠AFE

F 是 CE 和 AD 的交点，所以 E、F、C 在同一条直线上，射线 EF 就是射线 EC。于是 ∠AEF=∠AEC=90∘\angle AEF=\angle AEC=90^\circ。

三角形的三个内角加起来是 180°。在 △AEF\triangle AEF 中：

∠AFE=180∘−90∘−30∘=60∘\begin{aligned}\angle AFE&=180^\circ-90^\circ-30^\circ\\&=60^\circ\end{aligned}

∠DFC 和 ∠AFE 是对顶角

两条直线相交，正对着的两个角叫对顶角，对顶角相等。比如剪刀张开时，两片刀口之间的角和两个手柄之间的角，总是一样大。

这里直线 AD 和直线 CE 相交于 F。FA 和 FD 方向相反，FE 和 FC 方向相反，所以 ∠DFC\angle DFC 与 ∠AFE\angle AFE 正对着，是一对对顶角。它们相等的理由是：两个角都和 ∠AFC\angle AFC 凑成 180°。

∠DFC=∠AFE=60∘\angle DFC=\angle AFE=60^\circ

最容易错在哪里

把 ∠AFC\angle AFC 当成答案。∠AFC\angle AFC 是 120°；题目要的 ∠DFC\angle DFC 用的是向右的 FD，不是向左的 FA。

下次遇到这类题，先看什么

折叠题先找折痕：折痕两边对应的角相等。题目说“恰好落在某条线上”，就是在告诉你，折痕平分了一个角。

自测

只知道长方形沿 AC 折了一次，能不能马上说 ∠DAC=30∘\angle DAC=30^\circ？

查看答案

不能。第一次折叠只说明 ∠EAC=∠BAC\angle EAC=\angle BAC，还不知道其中任何一个角有多大。

第二次折叠里“E 恰好落在线段 AC 上”，才说明 ∠EAC\angle EAC 是 ∠DAC\angle DAC 的两倍。两个条件合起来，才能把 A 处的直角分成一样大的三份，每份 30°。