两次折叠中的角平分关系

题目

小敏将图 1 中的长方形纸片 $ABCD$ 沿对角线 $AC$ 折叠，点 $B$ 落在点 $E$ 的位置，$CE$ 与 $AD$ 交于点 $F$，如图 2，再将 $\triangle AEF$ 沿 $AF$ 折叠，点 $E$ 恰好落在线段 $AC$ 上的点 $G$ 的位置，如图 3，则 $\angle DFC=$ ______°。

答案：60°。

3D 看清两次折叠，再连起同一个角

沿对角线折一次，再只折小三角形 AEF。播放时追踪 B → E → G；需要比较角时可暂停并切换俯视。模型按原题条件构造，不能靠测量画面代替下面的推理。

先想象把折好的纸展开：对应的两条边会分居折痕两侧，重新折起来时恰好重合，所以它们与折痕所夹的角相等。折叠只改变纸的位置，对应角的大小不变，原来的直角折过来仍是直角。下面把两次折叠分开读。

第一次折叠：AC 对应两侧的角相等

先把 $\angle DAC$ 看成“一份”。还不知道这一份是多少度，暂时只比较各个角有几份。

长方形在 A 处是直角，AC 把这个直角分成 $\angle BAC$ 与 $\angle CAD$ 两部分。

沿 AC 折叠，B 到 E，AB 对应 AE，折痕 AC 不动。因此折痕两侧的这两个角相等：

$$\angle EAC=\angle BAC$$

同时，原来的直角 $\angle ABC$ 变为 $\angle AEC$，所以 $\angle AEC=90^\circ$。

第二次折叠：AF 平分角 EAC

沿 AF 折叠，E 到 G，因此 AE 对应 AG，有：

$$\angle EAF=\angle FAG$$

G 在线段 AC 上，所以 AG 与 AC 是同一方向；F 在线段 AD 上，所以 AF 与 AD 是同一方向。于是：

$$\angle FAG=\angle DAC$$

所以 $\angle FAG$ 是一份，与它相等的 $\angle EAF$ 也是一份。AF 在 $\angle EAC$ 内，这个大角由两份组成：

$$\angle EAC=\angle EAF+\angle FAC$$

现在接上第一次折叠：$\angle BAC=\angle EAC$，所以 $\angle BAC$ 也是两份。

长方形的直角 $\angle BAD$ 由“两份的 $\angle BAC$”加“一份的 $\angle CAD$”组成，一共三份。因此：

$$\angle DAC=90^\circ\div(2+1)=30^\circ$$

与它同为一份的 $\angle EAF$ 也就是 30°。

从三角形 AEF 转到所求角

原图中 E、F、C 依次在同一直线上，EF 与 EC 是同方向的射线，所以 $\angle AEF=\angle AEC=90^\circ$。三角形的三个内角加起来是 180°，在 $\triangle AEF$ 中：

$$\angle AFE=180^\circ-90^\circ-30^\circ=60^\circ$$

在交点 F，FA 与 FD 方向相反，FE 与 FC 方向相反。因此 $\angle DFC$ 与 $\angle AFE$ 是两条直线交叉时正对着的两个角，叫作“对顶角”。它们都与 $\angle AFC$ 凑成 180°，所以大小相等：

$$\angle DFC=60^\circ$$

注意区别：$\angle AFC$ 是 120°，而所求的 $\angle DFC$ 使用向右的 FD，不是向左的 FA。

自测

只知道长方形沿 AC 折叠一次，能否立即断定 $\angle DAC=30^\circ$？

查看答案

不能。第一次折叠只说明 $\angle EAC=\angle BAC$，还不知道其中任何一个角有多大。第二次折叠中“E 恰好落在线段 AC 上”才说明 $\angle EAC$ 是 $\angle DAC$ 的两倍。两次条件合起来，才能把 A 处的直角分成三个同样大的小角，得到每个小角为 30°。