掷硬币：频率和概率有什么不同？

题目

小丽掷一枚质地均匀的硬币 10 次，有 8 次正面朝上，当她掷第 11 次时，正面朝上的概率为 ______。

答案：$\frac12$，也就是 50%。

硬币没有记忆：前 10 次掷出什么，不影响第 11 次。

第 11 次由什么决定

概率说的是一件事发生的机会有多大，用 0 到 1 之间的数表示。比如掷一枚均匀的骰子，六个面机会一样大，掷出 6 点的概率是 $\frac16$。

题目里有两个条件：

• 硬币质地均匀。 正面、反面出现的机会一样大。
• 每次掷硬币互不影响。 前面掷出什么，不会改变这一次的机会。数学里把这叫作“独立”。

第 11 次仍然只有两种机会相等的结果，正面是其中一种：

$$P(\text{正面朝上})=\frac{1}{2}$$

所以不用去算前 10 次的各种排列，直接看这一次就够了。

8 次正面说明了什么

$\frac{8}{10}=80\%$ 是前 10 次里正面出现的频率。

频率说的是已经做过的试验：这件事出现的次数，除以一共做的次数。它记录的是过去，不是下一次正面朝上的概率。

掷的次数少的时候，频率可能离 $\frac12$ 很远：10 次里出 8 次正面，完全可能发生。

最容易错在哪里

• 填 $\frac8{10}$。 这是把过去的频率当成了下一次的概率。
• 觉得“该轮到反面了”。 硬币不会用下一次去“补回来”。
• 觉得“正面手气好，下次更容易出正面”。 题目说了硬币均匀，前面的结果改变不了硬币。

下次遇到这类题，先看什么

看到“质地均匀”“下一次”：根据硬币本身算概率。看到“掷了多少次、出现多少次”：那是频率，是过去的记录。

自测

如果前 10 次全是正面，第 11 次正面朝上的概率会变成 0 吗？

查看答案

不会，仍然是 $\frac12$。

前 10 次正面的频率是 100%，但每次掷硬币互不影响。硬币不需要用下一次的结果去补偿前面的结果。