掷硬币：频率和概率有什么不同？

题目

小丽掷一枚质地均匀的硬币 10 次，有 8 次正面朝上，当她掷第 11 次时，正面朝上的概率为 ______。

答案：$\frac12$，即 50%。

先看决定概率的条件

题目给的是一枚质地均匀的硬币。按通常的掷硬币模型，正面和反面出现的机会相等，每次结果相互独立。因此，第 11 次仍有两个等可能的结果，其中只有一个是正面：

$$P(\text{正面朝上})=\frac{1}{2}$$

这里有两个分工不同的条件：“均匀”说明这一次正反面的机会相等；“独立”说明前 10 次的记录不改变这一次的机会。正是这两点，让我们能够直接判断第 11 次，而不用计算前 10 次各种排列出现的可能性。

8 次正面说明的是什么？

$\frac{8}{10}=80\%$ 是前 10 次试验中正面朝上的频率，描述已经发生的结果。它不是下一次正面朝上的概率。

随机试验的结果可以暂时偏向一面。即使此前正面出现得多，下一次也不需要用反面来“补回来”；反过来，也不能认为下一次更容易继续出正面。

考点与易错处

看到“均匀硬币”和“下一次”，先根据试验本身判断等可能结果；看到“做了多少次、出现多少次”，计算的是观察到的频率。题目已经明确硬币均匀，不能用少量试验的频率替换理论概率。

自测：如果前 10 次全是正面，第 11 次正面的概率会变成 0 吗？

不会。仍为 1/2。前 10 次正面的频率是 100%，但各次投掷独立，硬币不需要用下一次的结果补偿此前的结果。