两个等腰三角形：用垂直关系交换底和高

题目

如图，$AB=BC=CD=DE=5$，$AC=6$，$CD\perp BC$，点 A、C、E 在同一条直线上，则 CE 的长为（　）。

A. 5　　B. 6　　C. 7　　D. 8

答案：CE = 8，选 D。

下面沿着这条路线证明。需要用到的勾股定理是：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。

先求左边等腰三角形的高

在 AC 上取中点 H，连接 BH。因为 AB = BC，等腰三角形顶点到底边中点的连线垂直于底边，所以：

$$BH\perp AC,\qquad CH=\frac{AC}{2}=3$$

在直角三角形 BCH 中，斜边 BC = 5，一条直角边 CH = 3。由勾股定理：

$$BH^2=BC^2-CH^2=5^2-3^2=16$$

长度取正值，因此 BH = 4。

再把这条高对应到右边的半条底边

在 CE 上取中点 K，连接 DK。因为 CD = DE，同样有：

$$DK\perp CE,\qquad CK=\frac{CE}{2}$$

现在左边已经算出两条直角边 3、4，右边仍不知道 CK、DK。两个小直角三角形的斜边 BC、CD 已经相等；如果再找到一对相等的锐角，就能证明全等，把左边的长度用于右边。 这就是接下来研究角度、用上 BC ⟂ CD 的原因。

按原图，CH 和 CK 是方向相反的两条射线；它们之间的平角依次被 CB、CD 分开。因此：

$$\angle BCH+\angle BCD+\angle DCK=180^\circ$$

而 $\angle BCD=90^\circ$，所以：

$$\angle DCK=90^\circ-\angle BCH$$

在直角三角形 BCH 中，两个锐角互余，也有：

$$\angle CBH=90^\circ-\angle BCH$$

这就得到 $\angle CBH=\angle DCK$：一个是左图顶点 B 处的角，另一个是右图底角 C。两个直角三角形 BHC 与 CKD 的斜边 BC、CD 都是 5，一个锐角又相等，因此全等。按相等角找对应顶点，B 对应 C，H 对应 K，所以左边的高 BH 对应右边的一半底边 CK：

$$\triangle BHC\cong\triangle CKD\quad\Longrightarrow\quad CK=BH=4$$

K 是 CE 的中点，所以整条底边：

$$CE=2CK=2\times4=8$$

验算与考点

全等还给出 DK = CH = 3。右边的半个等腰三角形两条直角边为 4、3，斜边为 5，满足 $4^2+3^2=5^2$，与原题 CD = DE = 5 一致。

这类题的线索是等腰三角形、底边已知、两腰互相垂直。作底边上的高，把等腰三角形拆成直角三角形，再用互余关系寻找全等。最容易漏掉的一步是：求出的 CK 只是 CE 的一半。

自测：为什么求出 CK = 4 后，不能直接填 CE = 4？

因为 K 是等腰三角形 CDE 底边 CE 的中点，CK = KE。整条 CE 是两段 4 相加，等于 8。