两个等腰三角形：用垂直关系交换底和高｜深国交 G1 数学入班测第 8 题

题目

如图， $AB=BC=CD=DE=5$ ， $AC=6$ ， $CD\perp BC$ ，点 A、C、E 在同一条直线上，则 CE 的长为（　）。

A. 5　　B. 6　　C. 7　　D. 8

答案：CE = 8，选 D。

两个等腰三角形各作一条高。左边的高 BH 能算出来，而它恰好等于右边的半条底边 CK。

下面一步一步证明。要用到勾股定理：直角三角形里，两条直角边的平方加起来，等于斜边的平方。比如直角边是 6 和 8，斜边就是 10，因为 $6^2+8^2=10^2$ 。

取 AC 的中点 H，连接 BH。因为 AB = BC，△ABC 是等腰三角形；等腰三角形顶点到底边中点的连线，垂直于底边。所以：

\begin{aligned}&BH\perp AC,\\&CH=\frac{AC}{2}=3\end{aligned}

在直角三角形 BCH 里，斜边 BC = 5，一条直角边 CH = 3。用勾股定理：

\begin{aligned}BH^2&=BC^2-CH^2\\&=5^2-3^2=16\end{aligned}

长度是正数，所以 BH = 4。

取 CE 的中点 K，连接 DK。因为 CD = DE，同样有：

\begin{aligned}&DK\perp CE,\\&CK=\frac{CE}{2}\end{aligned}

现在目标变成了：求出 CK，再乘 2。

左边的小直角三角形 BHC，三条边都知道了：3、4、5。右边的小直角三角形 CKD，只知道斜边 CD = 5。如果能说明这两个三角形全等，左边的长度就能直接用到右边。

两个三角形能完全重合，叫作全等。全等的三角形，对应的边一样长，对应的角一样大。

两个小直角三角形的斜边 BC、CD 已经相等。再找到一对相等的锐角，就能说明它们全等。 这就要用上题目里的 BC ⟂ CD。

A、C、E 在一条直线上，所以在 C 这里，CH 和 CK 方向相反，合成一个 180° 的平角。这个平角被 CB、CD 分成了三块：

\begin{aligned}&\angle BCH+\angle BCD\\&\quad+\angle DCK=180^\circ\end{aligned}

其中 $\angle BCD=90^\circ$ ，所以：

\angle DCK=90^\circ-\angle BCH

再看直角三角形 BCH。直角占了 90°，剩下两个锐角加起来也是 90°，这叫两个角互余。所以：

\angle CBH=90^\circ-\angle BCH

两个角都等于“90° 减去同一个角”，所以它们相等： $\angle CBH=\angle DCK$ 。一个在左图的顶点 B，一个在右图的底角 C。

直角三角形 BHC 和 CKD：都有一个直角，又有一对锐角相等，所以三个角都对应相等，形状一样；斜边 BC、CD 又都是 5，大小也一样。它们能完全重合，也就是全等。

按相等的角找对应顶点：B 对应 C，H 对应 K。所以左边的高 BH，对应右边的半条底边 CK：

\begin{aligned}&\triangle BHC\cong\triangle CKD\\&\Longrightarrow\quad CK=BH=4\end{aligned}

K 是 CE 的中点，整条底边是 CK 的两倍：

CE=2CK=2\times4=8

全等还告诉我们 DK = CH = 3。右边半个等腰三角形的两条直角边是 4 和 3，斜边是 5，满足 $4^2+3^2=5^2$ ，和题目给的 CD = DE = 5 对得上。

求出 CK = 4 就填上去。CK 只是 CE 的一半，还要乘 2。

看到等腰三角形和它的底边：作底边上的高，把它分成两个直角三角形。看到两条线垂直：找“90° 减去同一个角”的两个角，它们相等，常常能带出一对全等三角形。

为什么求出 CK = 4 以后，不能直接填 CE = 4？

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因为 CK 只是 CE 的一半。K 是等腰三角形 CDE 底边 CE 的中点，CK = KE。整条 CE 是两段 4 相加，等于 8。