同一组三个数：从零和分母确定未知数

题目

有三个互不相等的有理数，它们既可表示为 $1,\ x,\ x+y$ 的形式，又可表示为 $0,\ \frac{y}{x},\ y$ 的形式，则 $x^{2012}+y^{2013}$ = ______。

答案：2。

“同一组三个数”要求每个数都能在另一种写法中找到，但不要求所在位置相同。例如第一组的 1 不需要对应第二组写在首位的 0；它可能对应后面的某一项。

从第二组中的 0 入手

先暂时不管其他两项怎样对应，只落实一个必须满足的条件：第二组有 0，所以第一组 $1,\ x,\ x+y$ 中也必须有 0。

1 不等于 0；并且 $\frac{y}{x}$ 有意义，要求 x ≠ 0。所以第一组唯一能等于 0 的就是 x + y：

$$x+y=0\quad\Longrightarrow\quad y=-x$$

因此：

$$\frac{y}{x}=\frac{-x}{x}=-1$$

再找第一组中的 1

现在第二组变为 $0,\ -1,\ y$。第一组中有 1，第二组也必须有 1；0 和 −1 都不等于 1，因此只能是：

$$y=1,\qquad x=-1$$

代回核对：第一组为 $1,-1,0$，第二组为 $0,-1,1$，确实是同一组三个互不相等的有理数。

用指数的奇偶性求值

−1 的偶数次幂是 1，1 的任何正整数次幂都是 1。因此：

$$x^{2012}+y^{2013}=(-1)^{2012}+1^{2013}=1+1=2$$

考点与易错处

识别到“同一组数的两种表达”，先找 0、1 这样的特殊数，用不能为零的分母排除不可能的对应。这里不需要尝试所有排列。求幂时，要看清负数整体的括号和指数的奇偶性。

自测：能否为了让第一组含有 0，直接取 x = 0？为什么？

不能。第二组含有 y/x，分母 x 不能为 0。因此必须是 x + y = 0，这正是确定未知数的关键。