同一组三个数：从零和分母确定未知数

题目

有三个互不相等的有理数，它们既可表示为 $1,\ x,\ x+y$ 的形式，又可表示为 $0,\ \frac{y}{x},\ y$ 的形式，则 $x^{2012}+y^{2013}$ = ______。

答案：2。

两种写法是同一组数，顺序可以不同。先找最特别的数 0，看它只能是谁。

“同一组数”是什么意思

第一组是 $1,\ x,\ x+y$，第二组是 $0,\ \frac yx,\ y$。它们是同样的三个数，只是写法不同、顺序也可能不同。

所以第一组的每个数，都能在第二组里找到；但不一定在同一个位置。比如第一组的 1，不用去对第二组排在第一个的 0。

第一步：0 只能是 x + y

第二组里有 0，所以第一组的 $1,\ x,\ x+y$ 里也必须有一个是 0。一个一个看：

• 1 不等于 0。
• $\frac{y}{x}$ 的分母是 x。分母不能是 0，所以 x ≠ 0。
• 只剩下 x + y：

$$x+y=0\quad\Longrightarrow\quad y=-x$$

y 和 x 互为相反数，它们的商是 −1：

$$\frac{y}{x}=\frac{-x}{x}=-1$$

第二步：1 只能是 y

现在第二组变成了 $0,\ -1,\ y$。

第一组里有 1，第二组里也必须有 1。0 和 −1 都不是 1，所以只能是：

$$y=1,\qquad x=-1$$

第三步：代回去检查

第一组是 $1,\ -1,\ 0$，第二组是 $0,\ -1,\ 1$。确实是同样的三个数，而且互不相等，符合题目。

第四步：算乘方，只看指数是奇数还是偶数

−1 乘偶数次：两个两个配成一对，每一对 $(-1)\times(-1)=1$，所以结果是 1。1 不管乘多少次都是 1。

$$\begin{aligned}&x^{2012}+y^{2013}\\&=(-1)^{2012}+1^{2013}\\&=1+1=2\end{aligned}$$

最容易错在哪里

• 按位置一个对一个。 第一个对第一个，会得到 1 = 0，这不可能。要按“同一组数”来找。
• 为了凑出 0，直接让 x = 0。 x 在分母上，不能是 0。
• 算 $(-1)^{2012}$ 时丢了括号。 底数是整个 −1，指数 2012 是偶数，结果是 1。

下次遇到这类题，先看什么

同一组数有两种写法：先找 0、1 这样特别的数，再用“分母不能是 0”“三个数互不相等”把不可能的情况去掉。不用把所有排法都试一遍。

自测

能不能为了让第一组里有 0，直接取 x = 0？为什么？

查看答案

不能。第二组里有 $\frac yx$，分母 x 不能是 0。所以只能是 x + y = 0，这正是确定未知数的关键一步。