质数与奇偶性：方程为什么有两组可行数？

题目

已知 p、q 都是质数，且关于 x 的一元一次方程 $px+5q=117$ 的解为 1，则 $5p+2q+8$ = ______。

按原题的条件，答案有两个：64 或 547。题目给的条件定不出唯一的一个。

117 是奇数，所以 p、q 必须一奇一偶；偶数里的质数只有 2。 但题目没说谁是 2，两种情况都要算。

第一步：把“解为 1”变成等式

“方程的解为 1”的意思是：把 x = 1 代进去，等号成立。

$$\begin{aligned}&p\times1+5q=117\\&\Longrightarrow\quad p+5q=117\end{aligned}$$

第二步：用奇偶缩小范围

117 是奇数。先看 5q：5 是奇数，奇数乘奇数得奇数，奇数乘偶数得偶数，所以 5q 和 q 的奇偶一样。

• 如果 p、q 都是奇数：p + 5q 是“奇数 + 奇数”，得偶数，不会是 117。
• 如果 p、q 都是偶数：p + 5q 是“偶数 + 偶数”，也得偶数。

所以 p、q 必须一奇一偶。

质数是大于 1、只能被 1 和它自己整除的整数，比如 2、3、5、7。偶数里的质数只有 2：比 2 大的偶数都能被 2 整除，除了 1 和它自己，还多一个因数 2。

于是，p、q 里有一个是 2。可是题目没说是哪一个，只能两种都试。

情况一：p = 2

$$2+5q=117\quad\Longrightarrow\quad q=23$$

2 和 23 都是质数，符合条件。这时：

$$\begin{aligned}&5p+2q+8\\&=5\times2+2\times23+8\\&=10+46+8=64\end{aligned}$$

情况二：q = 2

$$\begin{aligned}&p+5\times2=117\\&\Longrightarrow\quad p=107\end{aligned}$$

107 是质数吗？是。 检查的办法：假如 107 能写成两个大于 1 的整数相乘，其中较小的那个因数一定小于 11，因为 $11\times11=121$ 已经比 107 大了。小于 11 的数，要么是质数 2、3、5、7，要么能被它们中的一个整除（比如 9 能被 3 整除）。而 107 不能被 2、3、5、7 中的任何一个整除，所以 107 没有这样的因数，是质数。

这一组也符合条件。这时：

$$\begin{aligned}&5p+2q+8\\&=5\times107+2\times2+8\\&=535+4+8=547\end{aligned}$$

两组都代回去检查

• 第一组：方程是 $2x+115=117$，解是 x = 1。
• 第二组：方程是 $107x+10=117$，解也是 x = 1。

两种情况里 p 都不是 0，方程都是一元一次方程。所以这两组数满足的是原题的全部条件，不是只满足中间某一个等式。

为什么不能只填一个

题目里没有别的条件能去掉其中一种，所以 64 和 547 都要写。

不能为了只填一个数，自己悄悄加上“p 比 q 小”这样的条件。原题留下两个不同的结果，说明它少给了一个条件。

最容易错在哪里

看到“有一个是 2”，就直接认定 p = 2，漏掉 q = 2。推理只能得到“其中一个是 2”。

下次遇到这类题，先看什么

看到“质数”，又看到和是奇数：先想到唯一的偶质数 2，用它把范围缩到很小，再分情况检查。

自测

如果题目另外加一个条件“p 小于 q”，答案还会有两个吗？

查看答案

不会，这时答案只有 64。

只有 p = 2、q = 23 满足 p 小于 q；p = 107、q = 2 不满足。注意：这是加了条件以后的新题，原题没有这个限制。