质数与奇偶性：方程为什么有两组可行数？

题目

已知 p、q 都是质数，且关于 x 的一元一次方程 $px+5q=117$ 的解为 1，则 $5p+2q+8$ = ______。

按原题现有条件，答案有两个：64 或 547，不能唯一确定。

先把“解为 1”变成等式

“方程的解为 1”表示把 x = 1 代入，等号成立：

$$p\times1+5q=117\quad\Longrightarrow\quad p+5q=117$$

117 是奇数。因为 5 是奇数，5q 与 q 的奇偶性相同。如果 p、q 都是奇数，p + 5q 就是“奇数 + 奇数”，为偶数；如果都为偶数，和也为偶数。要得到奇数 117，p、q 必须一奇一偶。

唯一的偶质数是 2：大于 2 的偶数除了 1 和它本身，还有因数 2，因此不是质数。于是，要么 p = 2，要么 q = 2。

情况一：p = 2

$$2+5q=117\quad\Longrightarrow\quad q=23$$

2 和 23 都是质数，满足条件。所求为：

$$5p+2q+8=5\times2+2\times23+8=10+46+8=64$$

情况二：q = 2

$$p+5\times2=117\quad\Longrightarrow\quad p=107$$

107 也是质数。 因为 11 × 11 = 121，大于 107，如果 107 能写成两个大于 1 的整数相乘，就至少有一个因数小于 11。小于 11 的质数只有 2、3、5、7，而 107 不被它们中的任何一个整除，因此不存在这样的因数，107 是质数。

所以这组数也满足条件，所求为：

$$5p+2q+8=5\times107+2\times2+8=535+4+8=547$$

代回检查，确认两组都成立

第一组对应方程 $2x+115=117$，解为 x = 1。

第二组对应方程 $107x+10=117$，解也为 x = 1。

p 不为 0，两条方程都是一元一次方程。因此这两组并非只满足某个中间等式，而是都满足原题的全部条件。

考点与易错处

看到“质数”与“奇数和”，可以用唯一的偶质数 2 缩小范围。但只能推出 p、q 其中一个是 2，不能直接认定 p = 2 而漏掉 q = 2。

原题保留两个不同结果，说明它缺少能确定唯一答案的条件；不能为了填一个数而悄悄增加条件。

自测：如果另加条件 p 小于 q，答案还会有两个吗？

不会。只有 p = 2、q = 23 满足 p 小于 q，此时答案为 64；p = 107、q = 2 不满足新增条件。注意，这是添加条件后的题目，原题没有这个限制。