2 的连续乘方求和：乘二后错位相减

题目

计算：

$$1+2+2^2+2^3+\cdots+2^{2008}-2^{2009}$$

答案：−1。

先把正数部分记作 S

$$S=1+2+2^2+\cdots+2^{2008}$$

先把末尾单独的负项留在外面，让 S 完整保留“从 1 开始、连续翻倍”的结构。等式两边乘 2，每项指数都增加 1，正好移动到原来下一项的位置：

$$2S=2+2^2+2^3+\cdots+2^{2009}$$

两式中，从 2 到 $2^{2008}$ 的项完全相同。选择 2S − S，左边恰好仍是要求的 S；右边中间每个数都是“自己减自己”，全部消去。2S 多出末尾的 $2^{2009}$，而 S 多出开头的 1，所以剩下的是“末项减 1”：

$$2S-S=2^{2009}-1\quad\Longrightarrow\quad S=2^{2009}-1$$

回到原来要求的算式

原式还要减去 $2^{2009}$，所以：

$$S-2^{2009}=(2^{2009}-1)-2^{2009}=-1$$

也可以用小规模算式检查“总比下一项少 1”的关系：$1+2+4+8=15=16-1$。这是帮助理解的例子，上面的逐项消去则说明本题长算式为什么也成立。

考点与易错处

识别出从 1 开始、连续翻倍的求和，就可以乘 2 后错位相减。注意最后一项是 $2^{2008}$，乘 2 后会出现下一项 $2^{2009}$；不能把指数的 2008 当作乘法因数。

自测：1 + 2 + 4 + 8 − 16 的结果是多少？它为什么能帮助检查本题？

结果是 −1。前四项的和是 15，恰好比下一项 16 少 1。它与原题具有同一种连续翻倍结构，但完整证明仍要依据乘二后逐项消去。