2 的连续乘方求和：乘二后错位相减

题目

计算：

$$\begin{gathered}1+2+2^2+2^3+\cdots\\{}+2^{2008}-2^{2009}\end{gathered}$$

答案：−1。

前面一长串加起来，正好比“下一项” $2^{2009}$ 少 1。 再减去 $2^{2009}$，就剩 −1。

先用短的一串看清楚

取前四项：$1+2+4+8$。把它乘 2，每一项都变成原来的后一项：

$$\begin{aligned}\text{原来：}&\ 1+2+4+8\\\text{乘 2：}&\ \phantom{1+{}}2+4+8+16\end{aligned}$$

两行里的 2、4、8 一模一样。用下面一行减去上面一行，它们全部抵消，只剩新串末尾的 16 和旧串开头的 1：

$$16-1=15$$

“两份减一份”正好剩一份，所以 $1+2+4+8=15$，比下一项 16 少 1。长的一串也照这样做。

第一步：把正数部分记作 S

先把末尾的 $-2^{2009}$ 留在外面：

$$S=1+2+2^2+\cdots+2^{2008}$$

第二步：整串乘 2

每一项乘 2，指数加 1，正好挪到原来下一项的位置：

$$2S=2+2^2+2^3+\cdots+2^{2009}$$

第三步：相减，中间全部抵消

两个式子里，从 2 到 $2^{2008}$ 的项完全一样，相减时都是“自己减自己”。2S 多出末尾的 $2^{2009}$，S 多出开头的 1：

$$\begin{aligned}&2S-S=2^{2009}-1\\&\Longrightarrow\quad S=2^{2009}-1\end{aligned}$$

左边 2S − S 正好是一份 S。

第四步：回到原式

原式是 S 再减去 $2^{2009}$：

$$\begin{aligned}S-2^{2009}&=(2^{2009}-1)-2^{2009}\\&=-1\end{aligned}$$

短的一串帮我们看出了规律。长的一串为什么也成立，靠的是上面的逐项抵消。

最容易错在哪里

• 乘 2 以后指数只加 1。 $2^{2008}\times2=2^{2009}$，是下一项。不要把指数 2008 当成乘数去乘。
• 忘了题目末尾的 $-2^{2009}$。 求出 S 还没做完。

下次遇到这类题，先看什么

一长串数相加，每一项都是前一项的同一个倍数：把整串乘这个倍数，让两串错开一位，再相减。这里乘的是 2，因为后一项正好是前一项的 2 倍。

想看“补一个 1、连续合并”的直观理由，见转化与构造：补一个一，让长串自己合起来。

自测

$1+2+4+8-16$ 等于多少？它为什么能帮你检查这道题？

查看答案

等于 −1。前四项的和是 15，正好比下一项 16 少 1。

它和原题是同一种样子：从 1 开始、连续翻倍，最后减去下一项。不过短串只是一个例子，长串为什么成立，还要靠乘 2 以后逐项抵消。