连排六边形：共享边只用一根火柴

题目

观察图形，若有六边形 2024 个，则需火柴棍 ______ 根。

答案：10121 根。

第一个六边形用 6 根，以后每接上一个，只要再添 5 根。

接上一个，为什么只添 5 根

图里的六边形排成一行，相邻的两个共用一条边，每条边用一根火柴。

第一个六边形有 6 条边，用 6 根。

从第二个开始，每接上一个六边形，它有一条边已经摆好了，就是和前一个共用的那条。所以只要再添 6 − 1 = 5 根。

算出 2024 个

一共 2024 个六边形：第一个用 6 根，后面还有 2023 个，每个添 5 根。

$$\begin{aligned}&6+5\times(2024-1)\\&=6+5\times2023\\&=10121\text{ 根}\end{aligned}$$

换一种数法核对

先把每个六边形都当成单独的，各数 6 根，一共 $6\times2024=12144$ 根。

这样数，每条共用的边被左右两个六边形各数了一次，多数了 1 次。实际上那里只有一根火柴，所以每条共用的边要减掉 1。

共用的边有几条？每接上一个六边形，多一条共用的边。2024 个六边形一共接了 2023 次，就有 2023 条。

$$\begin{aligned}&6\times2024-2023\\&=12144-2023\\&=10121\text{ 根}\end{aligned}$$

两种数法结果一样。

写成一个式子

照这种接法，n 个六边形（n 是 1、2、3……）用的火柴根数是：

$$6+5(n-1)=5n+1$$

最容易错在哪里

• 直接算 6 × 2024。 这是把每个六边形都当成单独的，共用的边多数了。
• 每条共用的边减 2。 多数的只有 1 次，那根火柴本身还在，只能减 1。

这个式子什么时候不能直接用

它只适用于这样的接法：排成一行，相邻两个只共用一条边。如果摆成好几排的蜂窝，或者首尾相接围成一圈，共用的边数就变了，要重新数。

下次遇到这类题，先看什么

图形一个接一个地变多：先看第一个用多少，再看每多一个实际新添多少。

自测

两个六边形共用一条边时，为什么是 $6\times2-1$，不是 $6\times2-2$？

查看答案

因为共用的那根火柴还在，只是被多数了一次。

$6\times2$ 把共用的边数了两次，只要去掉多数的那一次：$12-1=11$ 根。