连排六边形：共享边只用一根火柴

题目

观察图形，若有六边形 2024 个，则需火柴棍 ______ 根。

答案：10121 根。

先读连接方式，再数新增的边

图中六边形排成一行，相邻的两个六边形共用一条边，每条边用一根火柴。

第一个六边形有 6 条边，需要 6 根。从第二个开始，每增加一个六边形，它的一条边已经由前一个六边形提供，所以只需新添 5 根。

一共有 2024 个六边形：第一个用 6 根，后面还剩 2023 个各添 5 根。因此：

$$6+5\times(2024-1)=6+5\times2023=10121\text{ 根}$$

用“扣掉重复计数”再核对

如果把每个六边形都按 6 根来数，就得到 $6\times2024$。但每条共享边都被左右两个六边形各数了一次，实际上只用一根，所以每条共享边要减去重复的 1 次。

第一个六边形没有连接处，后面每接上一个就新增一处连接，所以排成一行的 2024 个六边形有 2023 处相邻连接，也就是 2023 条共享边：

$$6\times2024-2023=12144-2023=10121\text{ 根}$$

考点与适用范围

这类题先看一个基本图形需要多少、每新增一个实际增加多少。按原图这种依次相连、每相邻两个只共享一条边的方式，n 个六边形的火柴总数是：

$$6+5(n-1)=5n+1\qquad(n\ge1)$$

如果改成多排蜂窝结构或围成闭环，共享边的数量会改变，不能直接沿用这一公式。易错处是把每个六边形都当成独立图形，直接算 6 × 2024；或者在扣除重复边时每处减 2，把实际需要保留的那一根也扣掉。

自测：两个六边形共用一条边时，为什么是 6 × 2 − 1，而不是 6 × 2 − 2？

6 × 2 把共用边数了两次，但实物中仍需要这一根。只应删去多算的一次，所以是 12 − 1 = 11 根。