七年级上数学第8周周三练习

答案：A，−2026。 相反数相加为0。

第一步先写2026＋□＝0。空格中应填−2026，因此它是2026的相反数。1/2026是倒数，判断倒数看乘积是否为1，和本题不同。

换条件再试

−7的相反数和倒数分别是什么？

展开答案与理由

相反数是7，因为−7＋7＝0；倒数是−1/7，因为(−7)×(−1/7)＝1。两个定义分别核对。

答案：C，3×10¹⁰。 “亿”本身表示10⁸，先把单位换成数字。

1亿是10⁸，300亿就是300×10⁸。科学记数法前面的数应大于或等于1、小于10；300＝3×10²，所以结果为3×10¹⁰。核对：3后面有10个0，就是30000000000。

换条件再试

若改成30亿，指数是多少？

展开答案与理由

30亿＝30×10⁸＝3×10⁹，指数为9。数量缩小到十分之一，10的指数也少1。

答案：C。 先看每个等式用了哪一条运算规则，再逐项核对。

• A：6个a²减1个a²，得到5a²，字母部分仍保留。
• B：先算(−3)²＝9，再处理幂外的负号，结果是−9。
• C：ba²与a²b是同样的字母乘积，所以4ba²−3a²b＝(4−3)a²b＝a²b。
• D：3乘整个括号，a、b都要乘3，结果为3a＋3b。

为什么先认字母部分？只有相同的字母与各自指数都相同，才能把“几份同样的东西”合在一起。x²y与xy²的指数位置不同，不能合并。

换条件再试

−(−2)²与(−2)²分别是多少？5yx²−2x²y能合并吗？

展开答案与理由

前者−4，后者4。5yx²与2x²y的字母部分相同，能合并为3x²y。

答案：D，−0.5。 直尺的1 cm与数轴的1个单位不是同一段长度。

第一步找两个同时对齐的位置：直尺2 cm对应数轴0，直尺4 cm对应数轴1。直尺相差2 cm，数轴才增加1。

直尺1 cm在2 cm的左边1 cm，相当于数轴0左边半个单位，所以是−0.5。再查直尺6 cm对应2，比例也一致。

换条件再试

同一张图，直尺3 cm处对应数轴上的什么数？

展开答案与理由

0.5。它比直尺2 cm向右1 cm，即比数轴0向右半个单位。

答案：D，m＝−2。 “不含二次项”表示合并后的x²系数为0。

第一步去括号，减号作用到括号中的每一项：

$$x^2-7+3x+x^2+mx^2=(m+2)x^2+3x-7$$

为什么让m＋2等于0？x²的三份系数分别是1、1、m，合起来是m＋2；这份数为0，整项才消失。代入m＝−2，原式化为3x−7，确实没有x²。

换条件再试

若最前面的x²改为2x²，其余不变，m应是多少？

展开答案与理由

m＝−3。x²系数变成2＋1＋m，令它为0即可；不能照抄原来的−2。

答案：A。 先用整个长方形减去左下空白。

整个长方形长x＋3、宽x＋2；空白长x、宽2，面积2x。因此：

$$S=(x+3)(x+2)-2x=x^2+3x+6$$

B是“上面长条＋右下小块”：x(x＋3)＋6。C是“右边长条＋左上正方形”：3(x＋2)＋x²。D就是整块减空白，三者都等于x²＋3x＋6。

A为x²＋5x，和这个面积式不同。比如x＝1时实际面积10，A只给6，已能反驳“对所有x都表示该面积”。

换条件再试

若右下小块的宽2改成4，空白也变高4，阴影面积会怎样？

展开答案与理由

上面长条仍为x(x＋3)，右下小块变为3×4，所以面积为x²＋3x＋12。先看哪块变化，再重写对应面积。

答案：C。 互为相反数的两个数相加为0，这正是相反数的定义。

第一步检查“一定”“最小”“最大”这些话是否对所有允许的数成立。

• A：0.5比1小，仍是正数；−0.5比−1大，仍是负数。
• B：取m＝−1，则−m＝1，反而比m大。
• D：0的绝对值也是0，0不是正数。准确说法是非负数的绝对值等于它本身。

一个合适反例就能否定“所有数都如此”；选C则由定义给出一般理由。

换条件再试

“非零数的绝对值都大于0”成立吗？

展开答案与理由

成立。绝对值表示到0的距离，只有0到0的距离为0；排除了0，距离就严格大于0。

答案：A，43。 从第1幅到第7幅经历6次添点。

先按排核对原图：第1幅是2＋2＝4；第2幅是2＋3＋3＝8；第3幅是2＋3＋4＋4＝13；第4幅是2＋3＋4＋5＋5＝19。

按题图提示的方式继续，每次把原来最后一排延长1点，再添同样长的一排，所以新增量依次为4、5、6、7、8、9。

第5幅19＋7＝26，第6幅26＋8＝34，第7幅34＋9＝43。图号是位置，43是点数，不能把第7幅误当成增加7次。

换条件再试

第7幅到第8幅新增多少点？第8幅总共有多少？

展开答案与理由

新增10点，总共53点。新增量与累计总数是两个不同的数。

答案：−π/4。 π是固定的数，数字因数要连同负号、分母一起保留。

第一步把式子拆成乘积：

$$-\frac{\pi xy^2}{4}=\left(-\frac\pi4\right)\times x\times y^2$$

系数是前面的数字因数−π/4；x、y是这道题中的变量，xy²不属于系数。π虽然用字母形状的符号表示，在这里代表固定的圆周率。

换条件再试

若改成−πx²y/7，系数和次数分别是多少？

展开答案与理由

系数−π/7，次数2＋1＝3。改变x、y的指数不改变数字因数；分母从4改7则会改变系数。

已核验真题：2023·江西·第7题

单项式 −5ab 的系数为________。

展开答案与理由

−5。−5ab＝(−5)×a×b，负号属于数字因数。本题检查系数定义；含π、分母的情况继续看上面的再测。

出处：2023江西中考数学原卷第2页第7题，沿用项目已逐字核验的原题，无附图或选项。

答案：欢。 先看剪后是否连通，再检查折起后六面会不会重叠。

剪去“欢”，剩下三排各两格，逐排错开，能折成正方体。三对相对面是：大与仁，美与迎，铜与您。六个字分别落到六个面上。

为什么不能只数“剩6格”？例如剪去“美”，“大”就与其余格子断开；剪去“仁”虽然仍连在一起，折起后会有两个面占到同一面。必须同时满足连通和不重叠。

换条件再试

若把整张纸左右翻转，仍剪去“欢”，还能折成正方体吗？

展开答案与理由

能。左右翻转保留所有相邻共边和折叠关系；图的朝向改变，不会让原来不重叠的六面变成重叠。

答案：0。 所求式恰好包含已知整体的−2倍。

第一步比较系数：−2a²与−4a分别是a²、2a的−2倍，所以值得把这两个项合在同一个括号中。

$$10-2a^2-4a=10-2(a^2+2a)=10-2\times5=0$$

不必分别求a。这里每个满足条件的a，给出的整体a²＋2a都相同，所以所求值也相同。

换条件再试

若已知整体a²＋2a改为7，所求式仍是原来的式子，值是多少？

展开答案与理由

10−2×7＝−4。整体结构不变，只替换已知整体的值。

已核验真题：2025·江苏苏州·第11题

11. 若 $y=x+1$，则代数式 $2y-2x+3$ 的值为______．

展开答案与理由

5。y−x＝1，2y−2x＋3＝2(y−x)＋3＝5，不必分别求x、y。

出处：2025苏州中考原卷第2页第11题，复用项目已核验完整扫描的原题。

答案：−a−c。 先判绝对值里面整段的正负，再处理外面的减号。

数轴给出b＜a＜0＜c。a、b都为负，所以a＋b＜0；负数b减去正数c，也小于0。

$$|a+b|=-(a+b),\qquad |b-c|=-(b-c)$$

把两个结果分别放回原式，外面的减号仍保留：

$$|a+b|-|b-c|=-(a+b)-[-(b-c)]=-a-b+b-c=-a-c$$

用b＝−3、a＝−1、c＝2核对，原式为4−5＝−1，−a−c也为1−2＝−1。代数推理说明一般成立；这一组数只是辅助核对。

换条件再试

若改成|a＋b|＋|b−c|，同一条数轴条件下怎样化简？

展开答案与理由

−a−2b＋c。两个绝对值各自仍等于−a−b和−b＋c，这次外面改为相加。

答案：−1/3。 先按定义算到第一次回到4，再用项号找组内位置。

$$a_1=4,\quad a_2=\frac1{1-4}=-\frac13,\quad a_3=\frac1{1+\frac13}=\frac34,\quad a_4=\frac1{1-\frac34}=4$$

为什么后面一定重复？每一步都由前一项和同一条规则决定；再次回到4，下一项必定又是−1/3，再下一项必定又是3/4。因此每3项为一整组，这不是只看前几项形似的猜想。

2024＝3×674＋2，第2024项位于下一组第2个，等于−1/3。别把组内第2个误读成第2组。

换条件再试

同一序列，第2025项是什么？

展开答案与理由

3/4。2025＝3×675，正好落在一组的第3个；余0对应组末，不对应不存在的第0项。

已核验真题：2023·山东济宁·第10题

下面规则变了，先重算一组，不能把本题周期3照抄过去。

已知一列均不为 1 的数 $a_1,\ a_2,\ a_3,\ \cdots,\ a_n$ 满足如下关系： $a_2=\frac{1+a_1}{1-a_1}$， $a_3=\frac{1+a_2}{1-a_2}$， $a_4=\frac{1+a_3}{1-a_3}$，……， $a_{n+1}=\frac{1+a_n}{1-a_n}$， 若 $a_1=2$，则 $a_{2023}$ 的值是（　　）。

A. $-\frac12$　　B. $\frac13$　　C. −3　　D. 2

展开答案与理由

A，−1/2。按新规则依次为2、−3、−1/2、1/3、2；回到2后每4项一组。2023＝4×505＋3，所以取组内第3个。

出处：2023济宁中考数学原卷第3页第10题，题干和四个选项沿用项目已逐字核验证据。

答案：①3；②41；③−14；④12；⑤2x²y−6xy²；⑥−3a²b＋ab²。 每小题先处理它最里层或最先级高的运算。

① 减正7仍是减7

$$-14-(+7)+24=-14-7+24=3$$

括号只包住被减数＋7。改成加法时，是加−7，不能变成加7。可核对24−(14＋7)＝3。

② 先算乘除，再减去商

$$(-7)(-5)-90\div(-15)=35-(-6)=35+6=41$$

90÷(−15)的结果是−6。原式减去这个负数，必须加上6；35−6＝29漏了这一次变号。

③ 通分时，每一项原符号都带上

$$\left(-\frac23-\frac56+\frac{11}{12}\right)\div\frac1{24}=\left(-\frac8{12}-\frac{10}{12}+\frac{11}{12}\right)\times24=-\frac7{12}\times24=-14$$

也可把24分给三项：−16−20＋22＝−14。第二项原来就是减5/6，不能写成减去−5/6；最后的11/12为正，乘24仍为＋22。

④ 先绝对值与乘方，再分别做两组乘除

$$-|-5|\times(-2)^2+(-4)\div\left(-\frac12\right)^3=-5\times4+(-4)\div\left(-\frac18\right)=-20+32=12$$

加号把式子分成两组：左边乘法，右边除法。算出4和−1/8后，加号不会消失，不能把两组串成一次连乘。

⑤ 只合并同样的字母部分

$$(5-3)x^2y+(1-7)xy^2=2x^2y-6xy^2$$

x²y与xy²是两种不同的乘积，分别合并。

⑥ 括号外系数乘到每一项

$$-5(a^2b-3ab^2)+2(a^2b-7ab^2)=-5a^2b+15ab^2+2a^2b-14ab^2=-3a^2b+ab^2$$

先查−5×(−3ab²)＝＋15ab²，再查2×(−7ab²)＝−14ab²。两个括号展开完，再分两类合并；中途不另加新的括号前负号。

换条件再试

若⑥的第二个括号外＋2改为−2，其余不变，结果怎样？

展开答案与理由

−7a²b＋29ab²。第二组变为−2a²b＋14ab²，再与第一组合并；原来的＋ab²不能照搬。

答案：化简为4xy＋2，值为−2。 决定常数项的那一步是(−2)×(−1)＝＋2。

第一步把括号外的数分别乘到每一项，不先代入：

$$3x^2y+6xy-2xy-3x^2y+2=4xy+2$$

为什么先化简？两项x²y正好相消，最后只需算xy，代入更短也更容易检查。

$$4\times3\times\left(-\frac13\right)+2=-4+2=-2$$

卷面写到4xy−1，常数项与原式不符。回到−2乘整个括号检查，括号内的−1也必须乘−2。

换条件再试

若最里面的−1改成＋1，其余不变，化简和值分别是什么？

展开答案与理由

化简为4xy−2，代入同一x、y得−6。常数换号后，要重新乘外面的−2。

已核验真题：2022·湖北黄冈·第17题

先化简，再求值：4xy−2xy−(−3xy)，其中x=2，y=−1。

展开答案与理由

4xy−2xy＋3xy＝5xy；代入x＝2、y＝−1，得−10。先查减去−3xy的变号，再合并同类项。

出处：2022黄冈中考数学原卷可信文本，第17题，复用项目已核验完整算式和取值，无选项、无附图。

答案：（1）19千克；（2）达到，多21千克；（3）5633.6元。 表里的数是相对500千克的差值。

（1）共同的500会抵消

最多一天512千克，最少一天493千克，相差512−493＝19。也可以直接用差值12−(−7)＝19，因为两天都先有相同的500。

（2）先汇总差值

4−3−5＋12−7＋12＋8＝21千克。一周计划500×7＝3500千克，实际3500＋21＝3521千克，因此达到计划。

（3）先求每千克净收益

每千克售价6元，要付成本3.4元、运费1元，剩6−3.4−1＝1.6元。因此总收益3521×1.6＝5633.6元。售价乘总销量是销售收入，还没有扣费用。

换条件再试

若运费改为1.2元/千克，销量与售价不变，总收益怎样算？

展开答案与理由

每千克剩6−3.4−1.2＝1.4元，总收益3521×1.4＝4929.4元。销量没有变化，改变的是每千克净收益。

答案：（1）a−b，2a−1−2b；（2）4a−4b−1米；（3）5940元。 先沿图指出三段篱笆，再相加。

上边靠墙，不围篱笆。左右两条宽各为AB，下边的长为BC。

宽方向只减下面一条路，所以AB＝a−b。长方向左右各减b，所以BC＝(2a−1)−2b。

$$L=AB+BC+CD=2(a-b)+[(2a-1)-2b]=4a-4b-1$$

为什么是相加？求的是三段首尾接起来的总长度；长乘宽求的是面积，与本题不同。

a＝30、b＝5时，AB＝25米，BC＝49米，25＋49＋25＝99米；总价99×60＝5940元。把边长直接代入，和化简后的式子互相核对。

换条件再试

若只留左右两条路，取消下边那条路，三边篱笆总长是多少？

展开答案与理由

两条宽都从a−b恢复为a，长仍为2a−1−2b，总长4a−2b−1，比原来多2b。

答案：（1）见下；（2）最多添2块；（3）52a²。 三个问题分别看投影形状、可加高度、真实外表面。

先把数字读成每一列的高度

原图从后到前是：后排右侧2块；中排从左到右2、1、4块；前排左侧3块、右侧2块。共有2＋2＋1＋4＋3＋2＝14块，各列从底面连续叠放。

（1）看同一方向时，重叠的块只留轮廓

从正面看，三列最高分别为3、1、4，所以有8个投影格。从左面看，按原图由后到前，最高分别为2、4、3，所以有9个投影格。

（2）同一位置，行和列两个上限都要满足

为什么同时看两张视图？加高一列可能抬高正面轮廓，也可能抬高左面轮廓；两张都不能改变。俯视图里的空位也必须继续空着。

每个已有位置的最高层数，取“这一正面列的最高值”与“这一前后排的最高值”中较小者：

中排左侧可从2加到3；前排右侧可从2加到3。其他占位已达到至少一边的上限。两处各添1块，共添2块；添后总数16，三张投影完全不变。

原来达到最高处的方块仍保留，新增又不超过这些高度，所以轮廓既不升高，也不降低。把每处允许的空间都填满仍合法，才说明2是最多，而不只是找到一种能添2块的摆法。

这与“补成完整长方体”是不同要求。本题不能填俯视图的空格，也不能抬高任何投影。

（3）投影格会挡住凹处的面

主视图8格、左视图9格、俯视图6格，不能直接两倍相加当表面积。比如前排中间空着，左右两列相向的两个面都露在外面；从左看时它们会重叠。

按六个朝向数：前后各8面，左右各12面，上下各6面。

$$S=(8+8+12+12+6+6)a^2=52a^2$$

独立核对：14块原有84面。各竖列内部相贴8处，同一层左右相贴2处，前后相贴6处，共16处整面相贴，每处藏2面，所以84−32＝52。

换条件再试

若只要求保持正面和俯视图不变，不再要求左视图不变，最多可添几块？

展开答案与理由

可添5块。每个原有占位可加到所在正面列的最高值，最多共19块；减原有14块，得5块。原题还要求左视图，所以不能用这个较大的答案。

答案：（1）294π cm³；按后两问π取3时为882 cm³；（2）4500 cm；（3）缩短到2520 cm，比原来短1980 cm。 直径先减半，纸宽、厚度和长度再对应到同一个体积。

第一步：把两个直径换成半径

图中外直径10 cm，所以R＝5 cm；内直径4 cm，所以r＝2 cm。纸宽a＝14 cm。

$$V=\pi(5^2-2^2)\times14=294\pi\ \mathrm{cm}^3$$

第（1）问没有另印π的取值；保留294π是精确形式。按第（2）（3）问π＝3的计算口径，体积为882 cm³，与卷面数值相符。

（2）展开后，把纸看成长方体

展开后的长为l、宽为14、厚为0.014，三个量单位都是cm。体积不变，所以：

$$l\times14\times0.014=882,\qquad l=\frac{882}{14\times0.014}=4500\ \mathrm{cm}$$

为什么要除两次？882除纸宽得到“长度×厚度”，再除厚度才是长度。代回核对：4500×14×0.014＝882。

（3）外形不变，纸越厚，能容下的长度越短

$$l_{\text{新}}=\frac{882}{14\times0.025}=2520\ \mathrm{cm}$$

4500−2520＝1980 cm，所以缩短1980 cm。也可用l×b不变核对：4500×0.014＝2520×0.025＝63。

这一题按题目给的体积模型计算；原题已提醒纸层与压实程度可能带来测量误差，实际测量不必恰好等于计算值。

换条件再试

若只把纸宽由14改成7，半径和厚度都不变，展开长度会减半吗？

展开答案与理由

不会。纸卷体积也随宽度减半，公式l＝π(R²−r²)÷b中纸宽消去，长度不变。只有体积保持不变而单独改纸宽，才是另一种条件。

答案：（1）①B（0），②AC＝3AE；（2）5/2和7；（3）5、20/3、40/3、15秒。 先用定义写出距离关系，再看题目限定了哪些点和范围。

先把幸运点写在两个距离的起点

C是【A,B】的幸运点，表示CA＝3CB。把C换成P，就得到PA＝3PB；若顺序换为【B,A】，关系就是PB＝3PA。

只需先会数轴上两点的距离、正负数运算和一元一次方程。定义是本题新给的，不必提前记过。

（1）先比较哪一个距离是另一个的3倍

①E表示0，EB＝3、EA＝1，所以EB＝3EA，选B。若写方程，在−1与3之间应列3−x＝3(x＋1)，解得x＝0。

−3也满足到B距离为到A距离3倍，但它不在四个选项中；选择题从给出的选项里选0。

②A到C的距离为3，到E的距离为1，因此AC＝3AE，正好符合A是【C,E】幸运点的定义。

（2）原题没有限制在线段MN内

M、N相距6。在线段内，两个距离一共6，按3∶1分为4份，每份1.5；幸运点在N左边1.5处，所以表示4−1.5＝2.5，即5/2。

还要看线段外。若在N右侧，设到N的距离为d，到M就多6，得d＋6＝3d，所以d＝3，点表示4＋3＝7。

M左侧没有解：那里到M的距离反而小于到N的距离，无法是它的3倍。三段数轴都检查过，所以两解已找全。

（3）先写距离，再选谁当幸运点

P从40向左走3t，位置为40−3t。全程60÷3＝20秒，所以0≤t≤20。在这个范围内：

$$PB=3t,\qquad PA=60-3t,\qquad AB=60$$

题目允许P、A、B任意一个点当幸运点。先选一个，另外两点有两种顺序，共3×2＝6行；A、B固定，不代表它们到P的距离固定。

谁当幸运点	有序的另外两点	按定义列方程	核对结果
P	【A,B】	60−3t＝3×3t	t＝5（P＝25）
P	【B,A】	3t＝3×(60−3t)	t＝15（P＝−5）
A	【P,B】	60−3t＝3×60	运动范围内无解
A	【B,P】	60＝3×(60−3t)	t＝40/3（P＝0）
B	【P,A】	3t＝3×60	运动范围内无解
B	【A,P】	60＝3×3t	t＝20/3（P＝20）

A或B若要到P距离为180，就超出本题的60，因此相应两行无解。其余四行得到四个不同时刻。

“恰好一个”还要逐一查六行

• t＝5：PA＝45、PB＝15、AB＝60，只有P是【A,B】幸运点。
• t＝20/3：PA＝40、PB＝20、AB＝60，只有B是【A,P】幸运点。
• t＝40/3：PA＝20、PB＝40、AB＝60，只有A是【B,P】幸运点。
• t＝15：PA＝15、PB＝45、AB＝60，只有P是【B,A】幸运点。

列全候选不等于全部有解。先解，再查运动范围，再核对“恰好一个”，这三步都保留。

换条件再试

若速度改为2个单位/秒，四个时刻是什么？幸运点的位置会变吗？

展开答案与理由

位置不变；每个到达时刻变为原来的3/2倍，得7.5、10、20、22.5秒，运动总时长30秒。

谁当幸运点	有序的另外两点	按定义列方程	核对结果
P	【A,B】	60−2t＝3×2t	t＝15/2（P＝25）
P	【B,A】	2t＝3×(60−2t)	t＝45/2（P＝−5）
A	【P,B】	60−2t＝3×60	运动范围内无解
A	【B,P】	60＝3×(60−2t)	t＝20（P＝0）
B	【P,A】	2t＝3×60	运动范围内无解
B	【A,P】	60＝3×2t	t＝10（P＝20）