幸运点：第2问保留两解，第3问列全六种

题目

新定义：A、B、C为数轴上三点。若点C到A的距离是点C到B的距离的3倍，我们就称点C是【A,B】的幸运点。

特例感知

（1）如图1，点A表示的数为−1，点B表示的数为3。表示2的点C到点A的距离是3，到点B的距离是1，那么点C是【A,B】的幸运点。

①【B,A】的幸运点表示的数是（　）。

• A. −1
• B. 0
• C. 1
• D. 2

②试说明点A是【C,E】的幸运点。

（2）如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为−2，点N所表示的数为4，则【M,N】的幸运点表示的数为＿＿＿＿。

拓展应用

（3）如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为−20，点B所表示的数为40。现有一只电子蚂蚁P从点B出发，以3个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止。当t为何值时，P、A和B三个点中恰好有一个点为其余两点的幸运点？

答案：（1）①B（0），②AC＝3AE；（2）5/2和7；（3）5、20/3、40/3、15秒。 先用定义写出距离关系，再看题目限定了哪些点和范围。

先把幸运点写在两个距离的起点

C是【A,B】的幸运点，表示CA＝3CB。把C换成P，就得到PA＝3PB；若顺序换为【B,A】，关系就是PB＝3PA。

只需先会数轴上两点的距离、正负数运算和一元一次方程。定义是本题新给的，不必提前记过。

（1）先比较哪一个距离是另一个的3倍

①E表示0，EB＝3、EA＝1，所以EB＝3EA，选B。若写方程，在−1与3之间应列3−x＝3(x＋1)，解得x＝0。

−3也满足到B距离为到A距离3倍，但它不在四个选项中；选择题从给出的选项里选0。

②A到C的距离为3，到E的距离为1，因此AC＝3AE，正好符合A是【C,E】幸运点的定义。

（2）原题没有限制在线段MN内

M、N相距6。在线段内，两个距离一共6，按3∶1分为4份，每份1.5；幸运点在N左边1.5处，所以表示4−1.5＝2.5，即5/2。

还要看线段外。若在N右侧，设到N的距离为d，到M就多6，得d＋6＝3d，所以d＝3，点表示4＋3＝7。

M左侧没有解：那里到M的距离反而小于到N的距离，无法是它的3倍。三段数轴都检查过，所以两解已找全。

（3）先写距离，再选谁当幸运点

P从40向左走3t，位置为40−3t。全程60÷3＝20秒，所以0≤t≤20。在这个范围内：

$$PB=3t,\qquad PA=60-3t,\qquad AB=60$$

题目允许P、A、B任意一个点当幸运点。先选一个，另外两点有两种顺序，共3×2＝6行；A、B固定，不代表它们到P的距离固定。

谁当幸运点	有序的另外两点	按定义列方程	核对结果
P	【A,B】	60−3t＝3×3t	t＝5（P＝25）
P	【B,A】	3t＝3×(60−3t)	t＝15（P＝−5）
A	【P,B】	60−3t＝3×60	运动范围内无解
A	【B,P】	60＝3×(60−3t)	t＝40/3（P＝0）
B	【P,A】	3t＝3×60	运动范围内无解
B	【A,P】	60＝3×3t	t＝20/3（P＝20）

A或B若要到P距离为180，就超出本题的60，因此相应两行无解。其余四行得到四个不同时刻。

“恰好一个”还要逐一查六行

• t＝5：PA＝45、PB＝15、AB＝60，只有P是【A,B】幸运点。
• t＝20/3：PA＝40、PB＝20、AB＝60，只有B是【A,P】幸运点。
• t＝40/3：PA＝20、PB＝40、AB＝60，只有A是【B,P】幸运点。
• t＝15：PA＝15、PB＝45、AB＝60，只有P是【B,A】幸运点。

列全候选不等于全部有解。先解，再查运动范围，再核对“恰好一个”，这三步都保留。

换条件再试

若速度改为2个单位/秒，四个时刻是什么？幸运点的位置会变吗？

展开答案与理由

位置不变；每个到达时刻变为原来的3/2倍，得7.5、10、20、22.5秒，运动总时长30秒。

谁当幸运点	有序的另外两点	按定义列方程	核对结果
P	【A,B】	60−2t＝3×2t	t＝15/2（P＝25）
P	【B,A】	2t＝3×(60−2t)	t＝45/2（P＝−5）
A	【P,B】	60−2t＝3×60	运动范围内无解
A	【B,P】	60＝3×(60−2t)	t＝20（P＝0）
B	【P,A】	2t＝3×60	运动范围内无解
B	【A,P】	60＝3×2t	t＝10（P＝20）