空心卷筒纸：同一体积除以纸宽和厚度

题目

数学兴趣小组以“计算一卷空心卷筒纸展开的总长度”为主题，展开项目学习。

探究提示

计算要素：要估计一卷空心卷筒纸展开后的总长度，可通过测量其内外半径（内半径r，外半径R）、纸宽a、一层纸的厚度b，并利用体积守恒原理计算。

计算公式：根据体积守恒原理，展开前后的体积（展开后可以看成长方体）不变。展开后长度l与体积的关系为：

$$V=\pi(R^2-r^2)a=lab$$

注意事项：测量一层纸的实际厚度可能因纸张层数、压实程度等因素存在误差。

实践操作

步骤1：使用直尺测量卷筒纸的纸宽、中间空心硬纸轴的直径和外层的直径，测得空心卷筒纸的尺寸数据如图所示。

步骤2：多次测量纸张层数与厚度，计算平均值。

步骤3：利用体积守恒原理计算。请完成下列任务：

（1）根据测量数据，结合体积公式，直接写出空心卷筒纸的体积是＿＿＿＿立方厘米。

（2）若根据步骤2测得一层纸的厚度为0.014 cm，请直接写出这种规格的一卷空心卷筒纸展开的总长度是＿＿＿＿厘米。（π取3）

（3）若空心卷筒纸的尺寸（内径、外径、纸宽）不变，当一层纸张的厚度变为0.025 cm，空心卷筒纸展开的总长度会有何变化？（π取3）

答案：（1）294π cm³；按后两问π取3时为882 cm³；（2）4500 cm；（3）缩短到2520 cm，比原来短1980 cm。 直径先减半，纸宽、厚度和长度再对应到同一个体积。

第一步：把两个直径换成半径

图中外直径10 cm，所以R＝5 cm；内直径4 cm，所以r＝2 cm。纸宽a＝14 cm。

$$V=\pi(5^2-2^2)\times14=294\pi\ \mathrm{cm}^3$$

第（1）问没有另印π的取值；保留294π是精确形式。按第（2）（3）问π＝3的计算口径，体积为882 cm³，与卷面数值相符。

（2）展开后，把纸看成长方体

展开后的长为l、宽为14、厚为0.014，三个量单位都是cm。体积不变，所以：

$$l\times14\times0.014=882,\qquad l=\frac{882}{14\times0.014}=4500\ \mathrm{cm}$$

为什么要除两次？882除纸宽得到“长度×厚度”，再除厚度才是长度。代回核对：4500×14×0.014＝882。

（3）外形不变，纸越厚，能容下的长度越短

$$l_{\text{新}}=\frac{882}{14\times0.025}=2520\ \mathrm{cm}$$

4500−2520＝1980 cm，所以缩短1980 cm。也可用l×b不变核对：4500×0.014＝2520×0.025＝63。

这一题按题目给的体积模型计算；原题已提醒纸层与压实程度可能带来测量误差，实际测量不必恰好等于计算值。

换条件再试

若只把纸宽由14改成7，半径和厚度都不变，展开长度会减半吗？

展开答案与理由

不会。纸卷体积也随宽度减半，公式l＝π(R²−r²)÷b中纸宽消去，长度不变。只有体积保持不变而单独改纸宽，才是另一种条件。