差倒数：回到4以后，固定规则让整组重复

题目

定义：a是不同于1的有理数，我们称 $\frac{1}{1-a}$ 为a的差倒数。如3的差倒数是 $\frac{1}{1-3}=-\frac12$，−1的差倒数是 $\frac{1}{1-(-1)}=\frac12$。已知 $a_1=4$，a₂是a₁的差倒数，a₃是a₂的差倒数，a₄是a₃的差倒数，……以此类推，则 $a_{2024}$＝＿＿＿＿。

答案：−1/3。 先按定义算到第一次回到4，再用项号找组内位置。

$$a_1=4,\quad a_2=\frac1{1-4}=-\frac13,\quad a_3=\frac1{1+\frac13}=\frac34,\quad a_4=\frac1{1-\frac34}=4$$

为什么后面一定重复？每一步都由前一项和同一条规则决定；再次回到4，下一项必定又是−1/3，再下一项必定又是3/4。因此每3项为一整组，这不是只看前几项形似的猜想。

2024＝3×674＋2，第2024项位于下一组第2个，等于−1/3。别把组内第2个误读成第2组。

换条件再试

同一序列，第2025项是什么？

展开答案与理由

3/4。2025＝3×675，正好落在一组的第3个；余0对应组末，不对应不存在的第0项。

已核验真题：2023·山东济宁·第10题

下面规则变了，先重算一组，不能把本题周期3照抄过去。

已知一列均不为 1 的数 $a_1,\ a_2,\ a_3,\ \cdots,\ a_n$ 满足如下关系： $a_2=\frac{1+a_1}{1-a_1}$， $a_3=\frac{1+a_2}{1-a_2}$， $a_4=\frac{1+a_3}{1-a_3}$，……， $a_{n+1}=\frac{1+a_n}{1-a_n}$， 若 $a_1=2$，则 $a_{2023}$ 的值是（　　）。

A. $-\frac12$　　B. $\frac13$　　C. −3　　D. 2

展开答案与理由

A，−1/2。按新规则依次为2、−3、−1/2、1/3、2；回到2后每4项一组。2023＝4×505＋3，所以取组内第3个。

出处：2023济宁中考数学原卷第3页第10题，题干和四个选项沿用项目已逐字核验证据。