卡片猜数字：十位藏着第一张卡片

题目

用数学的眼光观察：

甲、乙两位同学用标有数字 1，2，…，9 的 9 张卡片做游戏。甲同学：“你先从这 9 张卡片中随意抽取两张（按抽取的先后顺序分别称为‘卡片 A’和‘卡片 B’），别告诉我卡片上是什么数字，然后你把卡片 A 上的数字先乘 5，再加 7，乘 2，最后加上卡片 B 上的数字，把最后得到的数告诉我，我就能猜出你抽出的是哪两张卡片啦！”乙同学：“这么神奇？我不信。”

用数学的思维思考：

（1）如果乙同学抽出的卡片 A 上的数字为 3，卡片 B 上的数字为 6，他最后得到的数 M 为 ________；

（2）若乙同学最后得到的数 M 为 76，则卡片 A 上的数字为 ________，卡片 B 上的数字为 ________。

用数学的语言表达：

（3）请你说明：对任意告知的数 M，甲同学是如何猜到卡片的。

三个答案：（1）M＝50；（2）卡片 A 上的数字是 6，卡片 B 上的数字是 2；（3）甲把报来的数减去 14，剩下的数里，十位就是卡片 A，个位就是卡片 B。

点开看答案（先自己算一遍）

小问	答案
（1）A＝3，B＝6	M＝3×5＝15，15＋7＝22，22×2＝44，44＋6＝50
（2）M＝76	76−14＝62，十位 6 是 A，个位 2 是 B：A＝6，B＝2
（3）为什么	四步做完最后是 $10A+B+14$，所以 M−14 的十位、个位正好是 A、B

（2）还有一种不靠公式、直接试的办法：先减掉最后加的卡片 B，再从后往前除。下面讲的是更像甲同学“心里有一本账”的写法：先看清式子。

先点“播放演示”听一遍讲解，再用“我自己试”选两个数字，看十位和个位怎样还原卡片。画面里的 3 和 6、50 和 76 都来自原题。

正在准备卡片猜数字动画…

一、第（1）问：照着顺序算

题目把四步列好了，一步也不能调换：

1. 卡片 A 上的数字乘 5：$3\times5=15$；
2. 再加 7：$15+7=22$；
3. 再乘 2：$22\times2=44$；
4. 最后加上卡片 B 上的数字：$44+6=50$。

所以 $M=50$。

二、把四步写成一条式子

现在把卡片上的数字换成字母：卡片 A 上的数字记作 $A$，卡片 B 上的数字记作 $B$。照着同一顺序写：

$$A\ \xrightarrow{\ \times5\ }5A\ \xrightarrow{\ +7\ }5A+7\ \xrightarrow{\ \times2\ }10A+14\ \xrightarrow{\ +B\ }10A+B+14$$

最后得到的数与两张卡片的关系就是：

$$M=10A+B+14$$

把第（1）问的数代进去检验：$10\times3+6+14=50$，和一步一步算的 50 一样。式子没有错。

三、第（2）问：反过来把卡片找出来

M＝76，代进刚写出的关系：

$$\begin{aligned}10A+B+14&=76\\10A+B&=76-14=62\end{aligned}$$

而 $10A+B$ 就是“十位是 A、个位是 B”的数，所以 62 的十位 6 就是 A，个位 2 就是 B：

$$A=6,\quad B=2$$

回头验算一遍：$6\times5=30$，$30+7=37$，$37\times2=74$，$74+2=76$，正是题目给的 M，答案没错。

四、第（3）问：甲凭什么一定能猜到

甲做的事情只有一步：**把报来的数减去 14，再看它的十位和个位。**为什么这样就一定对？

把关系式移项：

$$M-14=10A+B$$

• 两张卡片上的数字都来自 1，2，…，9，所以 A、B 都是 1 到 9 的数字，不会是 0；
• 十位上的数只能是 0 到 9，所以 $10A+B$ 这种写法是唯一的：要拼出同一个数，十位只能是 A，个位只能是 B。

于是从 $M-14$ 的十位和个位读出的两个数字，就是卡片 A 和卡片 B 上的数字，而且只有这一对卡片能说出这个 M。甲就是这样猜到的。

五、换个数字也照样能用

不管卡片换成哪两个数字，甲的办法都不变：

1. 听清乙报来的数 M；
2. 算 $M-14$；
3. 十位是卡片 A，个位是卡片 B。

第（1）（2）两问其实是同一条关系的两个方向：顺着算用 $10A+B+14$，倒着猜用 $M-14$。

检查自己是否看懂

自测 1：如果乙抽到卡片 A＝8、卡片 B＝5，最后得到的数 M 是多少？

$8\times5=40$，$40+7=47$，$47\times2=94$，$94+5=99$，所以 M＝99。用公式检查：$10\times8+5+14=99$，一致。

自测 2：乙报来的数是 92，甲能猜到卡片吗？猜到的两张卡片是什么？

能。$92-14=78$，十位 7 是卡片 A，个位 8 是卡片 B。验算：$7\times5=35$，$35+7=42$，$42\times2=84$，$84+8=92$。

自测 3：如果把规则改成“卡片 A 乘 4，再加 3，最后加卡片 B”，还能不能只凭一个数猜回两张卡片？

不能保证。这时最后得到的是 $4A+B+3$。取 A＝2、B＝1：$4\times2+1+3=12$；再取 A＝1、B＝5：$4\times1+5+3=12$。同一个数 12 对应两对不同的卡片，甲没法判断是哪一对。

原因在于：原题里“乘 5”和后面的“乘 2”合起来把 A 送到了十位，得到 $10A+B+14$，十位只由 A 决定、个位只由 B 决定。改成乘 4 以后 A 和 B 会互相“进位”混在一起，光看一个数就分不开了。原来那步“乘 5、再乘 2”看着像绕路，其实正是它让甲能一眼读出两张卡片。