纸盒拓展探究：剪开几条棱，怎样得到最小周长？

题目

某班综合实践小组开展“制作长方体形纸盒”的实践活动。

（1）知识准备。 如图①～⑥，是正方体的表面展开图的有________（只填写序号）。

（2）制作纸盒。 综合实践小组利用边长为 20 cm 的正方形纸板，按以下两种方式制作长方体形盒子。

如图⑦，先在纸板四角剪去四个同样大小且边长为 3 cm 的小正方形，再沿虚线折合起来，可制作一个无盖长方体形盒子。

如图⑧，先在纸板四角剪去两个同样大小且边长为 3 cm 的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来，可制作一个有盖长方体形盒子。

则制作成的有盖盒子的体积是________，无盖盒子的体积是________。

（3）拓展探究。 若有盖长方体形盒子的长、宽、高分别为 2.5、2、1.5，将它的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形。

① 请直接写出，你剪开________条棱。

② 当该长方体形盒子表面展开图的外围周长最小时，此时该展开图的外围最小周长为________。

图①～⑧按照片重绘，省略手写作答与立体外观示意，保留原图的格子位置、剪切区域和折痕。第（3）问原题没有标注长度单位；这里按六个面完整、连成一片且不重叠的通常展开图理解。

答案按空格顺序填写：①⑤⑥；294 cm³；588 cm³；7；25。

第（2）问先填有盖盒，再填无盖盒，别与图⑦、⑧的排列顺序混淆。第（3）问没有给出长度单位，因此答案不另加 cm。

这题始终在问同一件事：平面的哪一块、哪一条边，折后对应盒子的哪个面、哪一条棱？ 先把对应关系找准，再计算。

（3）剪几条棱：六个面只留下五条连接

长方体一共有 12条棱、6个面。现在要把六个面展开成完整的一片，每一面都不能剪碎。

先固定一个面，再把另外五个面一个一个接进来。每接进一个新面，留一条与前面相接的棱，因此一共需要 5条连接棱。

少于5条连接，六个面就不能全连在一起；额外再连，会把已经接好的面连成闭合的圈，盒角或侧壁仍封着，无法完整摊平。因此，恰好留下5条。

剪开的棱数：12 − 5 = 7条。

如果剪8条，只剩4条连接，六个完整的面就不能全部连成一片。

最短周长：剪口总长越短，展开图外围越短

想象在盒子的一条棱上剪一刀。原来贴在一起的两个面分开后，这条剪口的两侧各出现一条边。

所以，一条长为1的棱剪开，会给展开图外围增加两条长为1的边；未剪开的连接棱在展开图内部，不计入外围周长。

因此：展开图周长 = 剪开的棱长之和 × 2。

我们已经知道一定要剪7条，但棱的长度不同。要使周长最短，就要让被剪掉的棱尽量短，也就是让留下的5条连接棱尽量长。

为什么最多只能留三条最长棱？

把长度为 2.5 的四条棱放成竖直方向看。它们连接着四个侧面。

这四个侧面就像一个纸筒。如果四条侧缝都不剪，纸筒就没有拆开，没法摊成平面长条。因此，四条最长棱至少剪开一条，最多保留三条。

留下5条棱时，前三条最长只能是 2.5，其余两条最长只能选 2，所以保留总长最多是：

3 × 2.5＋2 × 2 = 11.5。

这个上限能做到：把四个侧面排成一条长带，带内三处连接都长 2.5；再把两个端面分别接在长带某个 2.5×2 面的左右两端，每处连接长 2。六个面没有重叠。

上图的5条虚线是保留的连接棱：三条长2.5、两条长2；实线是展开图的外围。下面的三维演示可以把这个图折回去，检查它是否真的可行。

把最小周长算出来

长方体的长、宽、高各有4条，因此十二条棱的总长是：

4 ×（2.5＋2＋1.5）= 24。

减去能保留的最大总长，得到最小剪口总长：

24 − 11.5 = 12.5。

每条剪口变成两条外围边，所以：

最小周长 = 12.5 × 2 = 25。

先看第三题：把最短周长的展开图折回去

演示默认显示第（3）题的长方体。先观察平面中的5条虚线连接，再点击“盒子成形”，看看六个面是否刚好合拢。拖动进度也能把盒子慢慢展开，平面与立体使用相同面号。

正在准备纸盒的三维折叠过程…

第三题的尺寸是2.5、2、1.5，与前两种纸盒不同。切换“⑦ 无盖盒子”“⑧ 有盖盒子”可复查第（2）问；这两种动画从剪完角后的纸片开始。演示忽略纸厚和粘贴边。

（1）先数六个面，再看折后是否重叠

正方体有六个面。正确的展开图折起来，六块正方形必须各占一个位置，既不重叠，也不缺面。

• ②、④不行： 按照片中的线框逐格数，它们各有7个正方形，多了一个面。
• ③不行： 虽然有6格，但沿连接边折起后，最左上方的一格与最下方的一格会占据同一个位置，发生重叠。
• ①、⑤、⑥可以： 六个面沿连接边折起后，恰好围成正方体。

如果想对应已经学过的分类：①是错位的“2—3—1”，⑤是只在端部接一条边的“3—3”，⑥是逐排错开一格的“2—2—2”。行数只是记忆提示，格子接在哪里才决定能不能折好。

想逐个折着看，可以复习正方体的11种展开图。

（2）无盖盒：两个方向都要留出两面盒壁

图⑦剪去的四角都是边长 3 cm 的正方形。四条边向上折后，盒高就是 3 cm。

横向从一端走到另一端，是“左壁＋底面＋右壁”；纵向也是“两侧盒壁夹着底面”。因此底面的两条边都要减去两次盒高：

底面边长：20 − 3 − 3 = 14 cm。

体积是“底面积×高”，所以：

无盖盒体积：14 × 14 × 3 = 588 cm³。

“无盖”不影响体积公式。体积描述内部空间有多大，不需要再减一个面的面积。

有盖盒：留下的宽度要分给底面和盖面

图⑧纵向仍是“3＋底面长＋3”，所以底面长仍为 14 cm。

但横向多了一块盖子。沿着纸板从左向右看，依次是：

左侧壁 3 → 底面宽 → 右侧壁 3 → 盖面宽。

盒盖要正好盖住底面，盖面与底面同样大，两个宽相等。先扣去两面盒壁，剩下的宽度再平分给底和盖：

底面宽 = 盖面宽 =（20 − 3 − 3）÷ 2 = 7 cm。

检查一遍：3＋7＋3＋7 = 20 cm，正好还原纸板的一条边。

有盖盒体积：14 × 7 × 3 = 294 cm³。

这类题的做法

• 看到判断展开图：先数面，再追踪折后位置；只数对六格还不够。
• 看到纸片剪角折盒：沿纸片两个方向，逐段对应底、壁、盖；有盖时先找出同样大的底面和盖面。
• 看到沿棱剪开、外围周长最小：先确定保留连接数，再利用“一条剪口变两条边”。比较方案时，必须确认六个面能连成一片且不重叠。

这些方法的前提是题目规定的沿棱展开、面不剪碎、整片不重叠；不能把任意剪纸的情形直接套进来。

自测：能说清原因，才算跟上了

有盖盒为什么不能直接把20−3−3当作底面的宽？

因为剩下的14 cm同时包含底面宽和盖面宽。两块一样宽，要再除以2，得到7 cm。

两种展开方案都剪7条棱，它们的周长一定相等吗？

不一定。长方体的棱可能长短不同，剪掉的总长度可能不同。周长等于剪掉的总长度乘2，而不只由“剪了几条”决定。正方体的棱都等长，在这些展开条件下才会有相同周长。

既然要保留长棱，为什么不留四条2.5，再留一条2？

因为四条2.5把四个侧面连成闭合一圈，不能摊平；这不是可行的展开方案。求最小值，既要比较长度，也要检查能否真的展开。