纸盒拓展探究：剪开几条棱，怎样得到最小周长？

题目

某班综合实践小组开展“制作长方体形纸盒”的实践活动。

（1）知识准备。 如图①～⑥，是正方体的表面展开图的有________（只填写序号）。

（2）制作纸盒。 综合实践小组利用边长为 20 cm 的正方形纸板，按以下两种方式制作长方体形盒子。

如图⑦，先在纸板四角剪去四个同样大小且边长为 3 cm 的小正方形，再沿虚线折合起来，可制作一个无盖长方体形盒子。

如图⑧，先在纸板四角剪去两个同样大小且边长为 3 cm 的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来，可制作一个有盖长方体形盒子。

则制作成的有盖盒子的体积是________，无盖盒子的体积是________。

（3）拓展探究。 若有盖长方体形盒子的长、宽、高分别为 2.5、2、1.5，将它的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形。

① 请直接写出，你剪开________条棱。

② 当该长方体形盒子表面展开图的外围周长最小时，此时该展开图的外围最小周长为________。

图①～⑧按照片重绘，省略手写作答与立体外观示意，保留原图的格子位置、剪切区域和折痕。第（3）问原题没有标注长度单位；这里按六个面完整、连成一片且不重叠的通常展开图理解。

答案按空格顺序填写：①⑤⑥；294 cm³；588 cm³；7；25。

第（2）问先填有盖盒，再填无盖盒，别和图⑦、⑧的排列顺序弄混。第（3）问没有给长度单位，所以答案不加 cm。

这道题有三问，下面按题目的顺序讲。前两问用的是学过的方法；最难的是第（3）问，想先看它可以直接跳过去。

（1）哪些是正方体的展开图：先数面，再看会不会重叠

正方体有六个面。正确的展开图折起来，六块正方形要各占一个位置：不重叠，也不缺面。

• ②、④不行。 按图里的线框一格一格数，它们各有 7 个正方形，多了一个面。
• ③不行。 它有 6 格，但沿连接边折起后，最左上方的一格和最下方的一格会挤到同一个位置，重叠了。
• ①、⑤、⑥可以。 六个面沿连接边折起后，正好围成正方体。

对照学过的分类：①是错位的“2—3—1”，⑤是只在端部接一条边的“3—3”，⑥是每排错开一格的“2—2—2”。行数只是帮你记，格子接在哪里才决定能不能折好。

想一个一个折着看，可以复习正方体的11种展开图。

（2）两种纸盒的体积：沿纸板走一趟，数清每一段

下图标出了两张纸板上每一段的长度。先看图⑦，再看图⑧。

无盖盒（图⑦）：两个方向都要留两面盒壁

图⑦四个角剪去的都是边长 3 cm 的正方形。四条边向上折，盒高就是 3 cm。

沿纸板从左走到右，依次是“左壁 → 底面 → 右壁”。从上走到下也一样，两面盒壁夹着底面。所以底面的两条边，都要减两次盒高：

底面边长：20 − 3 − 3 = 14 cm。

体积是“底面积 × 高”：

无盖盒体积：14 × 14 × 3 = 588 cm³。

“无盖”不影响体积。体积说的是里面能装多大的空间，不用再减一个面的面积。

有盖盒（图⑧）：剩下的宽度，底和盖各分一半

从上到下看，图⑧仍是“3 → 底面长 → 3”，所以底面长还是 14 cm。

但从左到右多了一块盖子。沿纸板从左走到右，依次是：

左侧壁 3 → 底面宽 → 右侧壁 3 → 盖面宽。

盖子要正好盖住底面，所以盖面和底面一样大，两个宽相等。先扣掉两面盒壁，剩下的宽度平分给底和盖：

底面宽 = 盖面宽 =（20 − 3 − 3）÷ 2 = 7 cm。

检查一遍：3＋7＋3＋7 = 20 cm，正好是纸板的一条边。

有盖盒体积：14 × 7 × 3 = 294 cm³。

想看这两张纸板怎样折起来，到后面的三维演示里点“⑦ 无盖盒子”或“⑧ 有盖盒子”。

（3）第一空：剪开几条棱？

长方体有 12 条棱、6 个面。展开图要连成完整的一片，每个面都不能剪碎。

想象一块一块地接：

1. 先放好 1 个面。
2. 接进第 2 个面，要留 1 条棱连着它。
3. 再接第 3、4、5、6 个面，每接一个，再留 1 条棱。

一共接进 5 个面，所以要留 5 条棱不剪。

• 少留一条行不行？ 不行。只留 4 条，最多连住 5 个面，会有一个面掉下来。
• 多留一条行不行？ 也不行。多出的那条棱，会让几个面首尾相连围成一圈。比如四个侧面围成纸筒，或三个面围住一个盒角。围成圈的地方摊不平。

所以正好留 5 条：

剪开的棱数：12 − 5 = 7 条。

（3）第二空：剪开一条棱，外围多出两条边

想象在盒子的一条棱上剪一刀。原来贴在一起的两个面分开了，剪口的两侧各变成展开图外围的一条边。

• 剪开的棱： 一条长为 1 的棱，给外围添上两条长为 1 的边。
• 没剪的棱： 它夹在两个面中间，在展开图的里面，不算外围。

所以：展开图周长 = 剪开的棱长之和 × 2。

棱一定要剪 7 条，但棱有长有短。想让周长最小，就让剪掉的棱尽量短，也就是让留下的 5 条棱尽量长。

最长的棱，最多只能留三条

最长的棱长 2.5，一共四条，它们互相平行。这四条棱连着围成一圈的四个面。

这四个面像一个纸筒，四条最长的棱就是纸筒上的四条缝。四条缝都不剪，纸筒就没拆开，摊不成平面。所以四条最长的棱至少剪开一条，最多留三条。

留下的 5 条里，三条最长是 2.5，另外两条最长只能选 2。留下的总长最多是：

3 × 2.5＋2 × 2 = 11.5。

这样留，真的能摊平吗？能，看下面的图：

1. 把纸筒剪开一条缝，摊成一条长带：前侧面（5 号）、底面（1 号）、后侧面（3 号）、盖面（6 号）。带里三处连接都长 2.5。
2. 剩下的左侧面（4 号）和右侧面（2 号），接在底面（1 号）的左右两边，每处连接长 2。
3. 六个面连成一片，没有重叠。

上图的 5 条虚线是留下的棱：三条长 2.5、两条长 2。实线是展开图的外围。

把最小周长算出来

长方体的长、宽、高各有 4 条，十二条棱的总长是：

4 ×（2.5＋2＋1.5）= 24。

减去留下的最大总长，就是剪口的最小总长：

24 − 11.5 = 12.5。

每条剪口变成两条外围边，所以：

最小周长 = 12.5 × 2 = 25。

动手验证：把展开图折回去

演示一开始显示的是第（3）问的长方体。先看平面图里的 5 条虚线，再点“播放演示”，看六个面到“盒子成形”时是不是刚好合拢。拖动进度，也能把盒子慢慢展开。平面图和立体图用的是同一套面号。

正在准备纸盒的三维折叠过程…

第（3）问的盒子尺寸是 2.5、2、1.5，和前两种纸盒不同。点“⑦ 无盖盒子”“⑧ 有盖盒子”可以复查第（2）问；这两种演示从剪完角的纸板开始。演示里不考虑纸的厚度和粘贴边。

下次遇到这类题先看什么

• 判断展开图： 先数面，再追踪每个面折到哪里。只数对六格还不够。
• 纸片剪角折盒： 沿纸片的两个方向各走一趟，一段一段对上底、壁、盖。有盖时，先找出一样大的底面和盖面。
• 沿棱剪开、外围周长最小： 先数要留几条棱，再用“一条剪口变两条边”。比较方案时，一定要检查六个面能连成一片、不重叠。

这些做法只管题目说的这种展开：沿棱剪、面不剪碎、整片不重叠。随便怎么剪都行的剪纸题，不能直接套。

自测：能说清原因，才算跟上了

有盖盒为什么不能直接把 20−3−3 当作底面的宽？

因为剩下的 14 cm 里，既有底面宽，也有盖面宽。两块一样宽，要再除以 2，得到 7 cm。

两种展开方案都剪 7 条棱，它们的周长一定相等吗？

不一定。长方体的棱有长有短，两种方案剪掉的总长度可能不同。周长等于剪掉的总长度乘 2，不是只看“剪了几条”。正方体的棱都一样长，按这种方式展开时，周长才都相同。

既然要留长棱，为什么不留四条 2.5，再留一条 2？

因为四条 2.5 会把四个面连成一个闭合的纸筒，摊不平，这种留法做不出展开图。求最小值，既要比长度，也要检查能不能真的展开。