求系数和：不用展开，把 x 换成 0、1、−1

题目

若 $(2x-1)^5=a_5x^5+a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0$，则：

1. 当 $x=0$ 时，有什么结论？

2. 当 $x=1$ 时，有什么结论？

3. 当 $x=-1$ 时，有什么结论？

4. 求 $a_1+a_3+a_5$ 的值。

答案速览

点开看答案（先自己算一遍）

问题	结论
（1）$x=0$	$a_0=-1$，常数项就是 $(-1)^5=-1$
（2）$x=1$	$a_5+a_4+a_3+a_2+a_1+a_0=1$，所有系数加起来等于 1
（3）$x=-1$	$-a_5+a_4-a_3+a_2-a_1+a_0=-243$
（4）	$a_1+a_3+a_5=122$

一、题目在暗示什么

题目的式子把左边写成 $(2x-1)^5$，把右边按 x 的降幂排好，可是 $a_5,a_4,\dots,a_0$ 一个都没给。左边能算，右边是六个未知数——怎么下手？

要注意题目问的不是某一个系数，而是“系数加起来是多少”。这就是提示：不需要知道每项各是多少，只要让右边按需要的方式排一次队。

排队靠 x。左右两边是同一个式子，x 取同一个数必然相等，所以 x 由你选。选得巧，$x^k$ 就变成 0 或 ±1，系数就留在式子里了。挑 $0$、$1$、$-1$ 最省事：

x 取	$x^5$	$x^4$	$x^3$	$x^2$	$x^1$	$x^0$
0	0	0	0	0	0	1
1	1	1	1	1	1	1
−1	−1	1	−1	1	−1	1

看最后一行：x 取 −1 时，指数是偶数得 1，指数是奇数得 −1。变不变号，只看指数是奇还是偶。

二、逐问算一遍

（1）x=0：只剩常数项

右边含 x 的项都乘上了 0，全部消失，只剩不含 x 的那一项：

$$a_5\cdot 0^5+a_4\cdot 0^4+a_3\cdot 0^3+a_2\cdot 0^2+a_1\cdot 0+a_0=a_0$$

左边：

$$(2\times 0-1)^5=(-1)^5=-1$$

所以 $a_0=-1$。

（2）x=1：全部系数之和

x 取 1，每一项 $x^k$ 都等于 1，右边的系数一个不落地留下来：

$$a_5+a_4+a_3+a_2+a_1+a_0$$

左边：

$$(2\times 1-1)^5=1^5=1$$

所以 所有系数之和等于 1：

$$a_5+a_4+a_3+a_2+a_1+a_0=1$$

（3）x=−1：奇次项的系数变号

x 取 −1，指数为奇数的项前面是 −1，偶数的是 +1：

$$-a_5+a_4-a_3+a_2-a_1+a_0$$

左边：

$$(2\times(-1)-1)^5=(-3)^5=-243$$

所以：

$$-a_5+a_4-a_3+a_2-a_1+a_0=-243$$

（4）a₁+a₃+a₅：把前两问的式子相减

把（2）的结论记作 S，把（3）的结论记作 T：

$$S=a_5+a_4+a_3+a_2+a_1+a_0=1$$ $$T=-a_5+a_4-a_3+a_2-a_1+a_0=-243$$

现在看 $S-T$。减号要分给 T 的每一项：括号去掉后，T 里原来是正号的变负号，原来是负号的变正号：

$$S-T=a_5+a_4+a_3+a_2+a_1+a_0+a_5-a_4+a_3-a_2+a_1-a_0$$

同类项一合，$a_4$、$a_2$、$a_0$ 正好抵消：

$$S-T=2a_5+2a_3+2a_1=2(a_1+a_3+a_5)$$

把数值代进去：

$$2(a_1+a_3+a_5)=S-T=1-(-243)=1+243=244$$ $$a_1+a_3+a_5=244\div 2=122$$

三、顺手验算：把左边展开

想知道 122 对不对，可以把左边一层层乘开（七年级能算，只是费点功夫）：

$$(2x-1)^2=4x^2-4x+1$$

再乘三次，得到：

$$(2x-1)^5=32x^5-80x^4+80x^3-40x^2+10x-1$$

于是 $a_5=32$、$a_3=80$、$a_1=10$，它们的和正好是 $32+80+10=122$。同时所有系数之和 $32-80+80-40+10-1=1$，和（2）的结论一致。

展开只用来自查。题目问系数和时，直接用 0、1、−1 更快，也不会在六个项上算错。

四、带走一句话

下次见到“已知展开式的系数，求和或差”这类题，按这个顺序想：

1. 看线索：给的是恒等式（x 取什么都成立），要求的是系数的和或差，而不是某个系数。
2. 找关系：恒等式两边可以代同一个数；x 取 0 留下常数项，取 1 得到全部系数之和，取 −1 让奇次项系数变号。
3. 做动作：把 x=1 和 x=−1 的两个结果相减或相加，再除以 2——$\frac{S-T}{2}$ 是奇次项系数之和，$\frac{S+T}{2}$ 是偶次项系数之和。
4. 看条件：右边必须是同一个多项式按 x 的降幂写好的形式，左边要能算出具体数值。如果式子只对某个 x 成立（那是方程，不是恒等式），就不可以随便代。

检查自己是否看懂

自测 1：已知 $(3x+1)^4=b_4x^4+b_3x^3+b_2x^2+b_1x+b_0$，求 $b_1+b_3$。

答案：$120$。

理由：x 取 1 得 $b_4+b_3+b_2+b_1+b_0=(3+1)^4=256$；x 取 −1 得 $b_4-b_3+b_2-b_1+b_0=(-3+1)^4=16$。两式相减得 $2(b_1+b_3)=256-16=240$，所以 $b_1+b_3=120$。

（展开核对：$(3x+1)^4=81x^4+108x^3+54x^2+12x+1$，$108+12=120$。）

自测 2：在本题里求 $a_0+a_2+a_4$。

答案：$-121$。

理由：这次要把两个式子相加，奇次项抵消：$S+T=2(a_0+a_2+a_4)=1+(-243)=-242$，所以 $a_0+a_2+a_4=-121$。（核对：$-1+(-40)+(-80)=-121$。）

自测 3：为什么 x 取 1 能得到全部系数之和，取 0 不行？

因为 $1^k=1$ 对每个指数都成立，所以每一项的系数都原样留下。而 $0^k$ 只有在指数为 0 时才等于 1，其余都是 0，所以取 0 只留下不含 x 的常数项。