走过的路与离 0 的距离：比较 |a|+|b| 和 |a+b|

把 |a|+|b| 读成“两步一共走了几格”，把 |a+b| 读成“走完以后离 0 几格”。不走回头路两边相等，走了回头路前一个更大，所以是“≥”；再倒过来用，从“走了 12 格、离 0 只有 2 格”找回两步，得到四个答案。

题目

探索研究：

【观察发现】 比较下列各式的大小。（用“>”“<”或“=”填空）

\begin{aligned} &\text{①}\ \lvert -2\rvert+\lvert 3\rvert\ \underline{\qquad}\ \lvert -2+3\rvert;\\[4pt] &\text{②}\ \left\lvert -\tfrac{1}{2}\right\rvert+\left\lvert -\tfrac{1}{3}\right\rvert\ \underline{\qquad}\ \left\lvert -\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{3}\right\rvert;\\[4pt] &\text{③}\ \lvert 6\rvert+\lvert -3\rvert\ \underline{\qquad}\ \lvert 6-3\rvert;\\[4pt] &\text{④}\ \lvert 0\rvert+\lvert -8\rvert\ \underline{\qquad}\ \lvert 0-8\rvert. \end{aligned}

【类比归纳】 通过以上比较，请你分析、归纳出当 $a$ ， $b$ 为有理数时， $\lvert a\rvert+\lvert b\rvert$ 与 $\lvert a+b\rvert$ 的大小关系为＿＿＿＿＿＿（直接写出结论即可）。

【实践应用】 如果 $\lvert a_1+a_2\rvert+\lvert a_3+a_4\rvert=12$ ， $\lvert a_1+a_2+a_3+a_4\rvert=2$ ，那么 $a_1+a_2=$ ＿＿＿＿＿＿。

先看答案

观察发现： ① “>”，② “=”，③ “>”，④ “=”。
类比归纳： $\lvert a\rvert+\lvert b\rvert\ \geq\ \lvert a+b\rvert$ 。 $a$ 、 $b$ 同号，或者至少有一个是 0 时取“=”； $a$ 、 $b$ 异号时取“>”。
实践应用： $a_1+a_2=7$ ， $-7$ ， $5$ 或 $-5$ ，一共四个答案。

这道题从头到尾只问一件事：小人有没有走回头路。

1. 两边量的是两样不同的东西

$\lvert a\rvert+\lvert b\rvert$ ：先走 $a$ 这一步，再走 $b$ 这一步，一共走了几格。不管向左还是向右，走一格就算一格。
$\lvert a+b\rvert$ ：两步走完，小人停在 $a+b$ ，它离 0 几格。

看 ①： $-2$ 和 $3$ 。先向左 2 格，再向右 3 格，一共走了 $2+3=5$ 格；可是小人停在 1，离 0 只有 1 格。所以 $\lvert -2\rvert+\lvert 3\rvert=5$ ， $\lvert -2+3\rvert=1$ ，填“>”。

先看小人把这几道题走一遍。上面一条是“走过的路”，下面一条是“离 0 的距离”，两条从同一个起点量，谁长谁短一眼就能比出来。讲解分成七小段，每段讲完会自动停下，留一个“想一想”；听完后切到“我自己试”，换两个数再走。

下面几节是动画里讲过的内容，写成文字方便以后复查。

2. 四个小题：只看有没有回头路

① $-2$ 和 $3$ ：一左一右，走了回头路（2 格）。走过的路 5 格，离 0 只有 1 格， $5>1$ ，填“>”。多出的 4 格，正好是回头路 2 格走了两遍。
② $-\tfrac12$ 和 $-\tfrac13$ ：两个都是负数，两步都向左，没有回头路。把 1 格平分成 6 小格， $\tfrac12$ 是 3 小格， $\tfrac13$ 是 2 小格：走过的路是 $\tfrac12+\tfrac13=\tfrac56$ ，离 0 也是 $\tfrac56$ ，填“=”。
③ $6$ 和 $-3$ ：一右一左，走了回头路（3 格）。走过的路 9 格，离 0 只有 3 格， $9>3$ ，填“>”。 $9-3=6$ ，又是回头路的两倍。
④ $0$ 和 $-8$ ：第一步是 0，原地不动，谈不上回头。走过的路 8 格，离 0 也是 8 格，填“=”。

3. 归纳：为什么是“≥”

把四个小题合起来，只有两种情形：

没有回头路—— $a$ 、 $b$ 同号，或者至少有一个是 0：走过的每一格都让小人离 0 更远，所以 $\lvert a\rvert+\lvert b\rvert=\lvert a+b\rvert$ 。
走了回头路—— $a$ 、 $b$ 异号：回头的格子白走了两遍，所以 $\lvert a\rvert+\lvert b\rvert>\lvert a+b\rvert$ 。

会不会出现“<”？不会。离 0 的距离，不可能比走过的路还多。 所以

\lvert a\rvert+\lvert b\rvert\ \geq\ \lvert a+b\rvert.

这和上一课的加法法则是同一件事：同号两数相加，和的绝对值就是绝对值相加，两边相等；异号两数相加，和的绝对值是较大的绝对值减去较小的绝对值，当然比相加要小。

4. 实践应用：把这句话倒过来用

四个字母看着吓人，其实只有两步：把 $a_1+a_2$ 整个看成第一步，把 $a_3+a_4$ 整个看成第二步。 那么 $a_1+a_2+a_3+a_4$ 就是两步接着走完后停下的位置。题目说的是：

两步一共走了 12 格；
走完以后离 0 只有 2 格。

12 > 2，说明走了回头路，两步方向相反（一正一负）。如果没有回头路，这两个数应该相等。
多走的 $12-2=10$ 格，是回头路走了两遍，所以回头路是 $10\div 2=5$ 格。
两步方向相反时，小的一步整个都在回头路上，所以小的一步是 5 格，大的一步是 $12-5=7$ 格。

也可以用小学的“和差问题”检查：大步 + 小步 = 12，大步 − 小步 = 2，所以大步是 $(12+2)\div 2=7$ ，小步是 $(12-2)\div 2=5$ 。

大的一步可以向右也可以向左，第一步可以是大的那步也可以是小的那步，所以一共有四种走法：

第一步 $a_1+a_2$	第二步 $a_3+a_4$	检验
$7$	$-5$	走了 $7+5=12$ 格，停在 $2$
$-7$	$5$	走了 12 格，停在 $-2$
$5$	$-7$	走了 12 格，停在 $-2$
$-5$	$7$	走了 12 格，停在 $2$

停在 $2$ 或 $-2$ ，离 0 都是 2 格，四种走法都符合题目。

题目问的是第一步，所以 $a_1+a_2=7$ ， $-7$ ， $5$ 或 $-5$ 。

5. 这道题留下的方法

看到绝对值，先想“距离”或“格数”。 $\lvert a\rvert+\lvert b\rvert$ 是走过的路， $\lvert a+b\rvert$ 是离起点的距离。
比较大小，先看符号再计算。 同号或有 0，相等；异号，前者大。
式子再长，也可以把一部分整个看成一个数。 $a_1+a_2$ 就是“第一步”，不用知道 $a_1$ 、 $a_2$ 各是多少。

检查自己是否看懂

不计算，直接判断： $\lvert -7\rvert+\lvert -9\rvert$ 与 $\lvert -7-9\rvert$ 谁大？ $\lvert -7\rvert+\lvert 9\rvert$ 与 $\lvert -7+9\rvert$ 呢？
如果 $\lvert x\rvert+\lvert y\rvert=10$ ， $\lvert x+y\rvert=10$ ， $x$ 、 $y$ 可能一正一负吗？为什么？
如果 $\lvert m\rvert+\lvert n\rvert=9$ ， $\lvert m+n\rvert=3$ ，求 $m$ 。

查看答案与理由

第 1 题：第一组相等： $-7$ 和 $-9$ 同号，两步都向左，没有回头路。第二组左边大： $-7$ 和 $9$ 异号，走了 7 格回头路， $16>2$ ，差 14 正好是 $7\times 2$ 。

第 2 题：不可能。一正一负就会走回头路，走过的路一定比离 0 的距离多；现在两个数都是 10，说明没有回头路， $x$ 、 $y$ 只能同号，或者至少有一个是 0。

第 3 题： $9>3$ ，走了回头路， $m$ 、 $n$ 异号。回头路是 $(9-3)\div 2=3$ 格，所以小的一步 3 格，大的一步 $9-3=6$ 格。 $m$ 可以是大的也可以是小的，可以向右也可以向左： $m=6$ ， $-6$ ， $3$ 或 $-3$ 。