正方体截去一角：怎样判断表面展开图？

题目

用一个平面去截正方体，截掉了正方体的一个角，且截面经过原正方体三条棱的中点，则剩下几何体的表面展开图应该是（　　）。

截面经过相邻三条棱的中点

A

B

C

D

答案：选 B。

切掉的三个小角，原来是正方体的同一个顶点。 所以把展开图折回去，三个缺口必须凑到同一个点上。四个选项里，只有 B 做得到。

先看一遍三维演示：找到原来的顶点 O，再看七个面怎样摊平。到最后一步“核对选项”，依次点 A、B、C、D，看哪一个的三个缺角能回到同一个 O。也可以把进度条往回拖，看展开图重新折成立体。

正在准备截角正方体的三维展开过程…

下面把每一步写成文字，方便你以后复查。

① 切一刀以后，剩下哪几种面？

把被切掉的顶点叫作 O。O 原来连着三个正方形面。

• 这三个面各被切掉一个小三角形。四边形少了一个角，就变成五边形。
• 另外三个面碰不到 O，没有被切到，还是正方形。
• 切口处新露出一个三角形。

所以剩下的几何体有 7 个面：3 个正方形、3 个五边形、1 个三角形。

三个截点都是棱的中点。每条切口都是一个小正方形的对角线，这个小正方形的边长是半条棱。三条切口一样长，所以新露出的三角形三条边相等。

② 把缺角补回去：三个尖角是同一个点

在每个五边形的缺口上，补回那个小三角形，它就变回正方形。三个补出来的尖角，记作 O₁、O₂、O₃。

它们原来是同一个顶点 O。所以折回正方体时，O₁、O₂、O₃ 必须碰在一起。

如果有一个缺角朝错了方向，它折回去就会落到正方体的另一个顶点上。这样三条切口也围不成一个三角形。

补出的小三角形只是帮我们找位置，它不属于剩下的几何体。

③ 在展开图上找 O

四个选项的六个面摆法一样：横排四个面，左边两个是五边形；横排最左的五边形上方接一个正方形；横排第三个面的下方接着一个五边形，下面叫它“下接的五边形”。

把它想成折纸盒：横排四个面卷成一圈，上面的正方形盖住一头，下接的五边形盖住另一头。

第一步：看横排最左的五边形和横排第二个五边形。

1. 它们共用一条竖边。O 同时属于这两个面，所以 O 就在这条共用边的一端。
2. 下接的五边形也有 O 这个角，而它盖的是下面那一头。所以 O 在共用边的下端。
3. 于是横排最左的五边形缺右下角，横排第二个五边形缺左下角。两个缺口在共用边的下端并在一起。

用这一条检查选项：

• C 不行。 C 里横排第二个五边形缺的是右下角，不在这条共用边上。
• D 不行。 D 里横排最左的五边形缺的是左下角，也不在这条共用边上。

第二步：看下接的五边形。

1. 它绕着自己的上边折过去，盖住下面那一头。
2. 这时，它的左边会贴到横排第二个五边形的下边上。
3. 顺着横排第二个五边形的下边往左走到头，就是 O。所以下接的五边形缺的是左下角。

• A 不行。 A 里下接的五边形缺的是右下角，折回去会落到另一个顶点。

三个缺角依次是“右下、左下、左下”，只有 B 符合。在演示的最后一步点开 B，会提示三个尖端重合；点其他选项，会指出哪一个五边形的缺角折回后不在 O。

下次遇到这类题先看什么

看到“截去一个角”和“表面展开图”，按这个顺序检查：

1. 先找被切到的面。 连着被切顶点的面会少一个角；碰不到这个顶点的面保持原样。
2. 再看新露出的截面。 它的每条边，都挨着一个被切到的面。
3. 最后追踪同一个顶点。 把缺角补回去，几个尖角折回后必须碰在一起。只数面、只看图“像不像”，都不可靠。

截点不在中点时，这个办法也能用。只要三个截点还在从 O 出发的三条棱上、没有到棱的另一头，切掉的就还是这一个角。面片的大小会变，但“哪几个面少一个角”和“这些缺角是同一个顶点”都不变。

自测：截点不在中点会怎样？

如果平面仍截去同一个角，但三个截点都改为每条棱上距 O 为三分之一棱长的点，面的个数和种类会改变吗？

不会。仍然是 3 个正方形、3 个五边形和 1 个三角形，共 7 个面；正确展开图中三个缺角仍要补回同一个顶点。改变的是缺角和新三角形的大小。