正方体截去一角：怎样判断表面展开图？

题目

用一个平面去截正方体，截掉了正方体的一个角，且截面经过原正方体三条棱的中点，则剩下几何体的表面展开图应该是（　　）。

截面经过相邻三条棱的中点

A

B

C

D

答案：选 B。

这题不能只凭“看起来能折”来猜。要抓住一个始终不变的关系：三个被切掉的小角，原来都属于正方体的同一个顶点。

① 截完以后，先数清面

被截掉的顶点原来连接着三个正方形面。平面经过三条棱的中点后，这三个面各少了一个小三角形，所以都从四边形变成了五边形。

与这个顶点不相邻的另外三个面没有被切到，仍然是正方形。切一刀还会新露出一个三角形截面。

所以剩下的几何体共有 7 个面：3 个正方形、3 个五边形、1 个三角形。

这里三个截点都是棱的中点。任意两个中点都位于正方体的一个正方形面上，每条截边都是边长为原正方形一半的小正方形的对角线。因此三条截边相等，新截面还是一个等边三角形。

② 把缺角暂时补回去

把每个五边形沿斜边补成原来的正方形，并把三个补出的尖角分别记作 O₁、O₂、O₃。这只是帮助追踪原图，补出的部分不属于剩下的几何体。

折回正方体时，必须有 O₁、O₂、O₃ 重合成同一个原顶点 O。如果其中一个缺角方向反了，它就会落到正方体的另一个顶点，三个斜边也不能围成同一个三角形截面。

③ 沿同一个顶点折回去

四个选项的六个原正方形面使用同一连接底图。互动选项卡只把这六个面标准化重画，公共的三角形截面不放进卡片；这样只比较真正变化的三个缺角，不把三角形的铰接位置说成题图给定的信息。

先看横排左起的两个五边形，再看下接的五边形。把底图沿共边折回正方体，并始终追踪原顶点 O：

1. 横排左起第二个五边形折回后，O 落在它的左下角，所以这里应缺左下角。
2. 最左面沿两面共享的竖棱折起时，要追踪的是这条棱的同一个下端点；从最左面看，它正是右下角，所以这里应缺右下角。
3. 再把右侧两个正方形依次折回，并将下接五边形沿上边折起。空间中的同一个 O 落在下接面的左下角，所以第三处也应缺左下角。

因此三个位置依次是“右下、左下、左下”，只有 B 把三个补角都折回同一个 O。其余选项至少有一处落到相邻的另一个顶点。

④ 动手展开，再折回验证

先在立体中找原顶点 O 和三个中点 M、N、P，再播放刚性展开。到最后一步，依次点选四个选项，可以查看哪个选项的三个缺角方向与同一个 O 一致。也可以拖动进度条折回去观察共边始终没有断开。

正在准备截角正方体的三维展开过程…

这类题怎样判断？

看到“截去一个角”和“表面展开图”，可以按这个顺序检查：

1. 先找被截顶点连接的面。 它们会改变形状；不相邻的面保持原样。
2. 再看新截面。 新截面的每条边，都与一个被改变的原表面相邻。
3. 最后追踪同一个顶点。 把缺角补回后，本来相同的顶点必须重合；不能只数面，也不能只看平面图像不像。

这个方法适用于从多面体上截去一个顶点的展开图问题。只要截点仍在同三条棱的内部，并且仍只截去同一个角，截点位置改变时，面片的大小会变，但“哪些面被截到”和“这些缺角来自同一顶点”的关系不会变。

自测：截点不在中点会怎样？

如果平面仍截去同一个角，但三个截点都改为每条棱上距 O 为三分之一棱长的点，面的个数和种类会改变吗？

不会。仍然是 3 个正方形、3 个五边形和 1 个三角形，共 7 个面；正确展开图中三个缺角仍要补回同一个顶点。改变的是缺角和新三角形的大小。