系统课程 · 14 课 · 内容约 252 分钟，另留练习与复习时间
微积分初探：看懂变化与累积
从小车的两个仪表出发，用缩短时间窗口、正方形拼图与三车赛跑，理解变化率和累积怎样互相联系，再迁移到水桶和三维切片。
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课程目录
依照先修知识排列。已经熟练的部分可以复习，暂时没弄懂的部分先回看讲解，再独立尝试。
- 01
仪表盘上的两个表
认识累积量和变化率，发现从一个仪表推算另一个仪表的困难。
变化率 · 累积量 · 平均速度 · 约 18 分钟 - 02
把运动画成图
从两条数轴和路程记录出发，读懂时间—路程图上的点与区间变化。
坐标图 · 变量对应 · 路程变化 · 约 18 分钟 - 03
平均速度藏起了什么
比较同起点同终点的两辆车，用图上两点之间的变化理解平均速度。
平均速度 · 区间变化率 · 两点连线 · 约 18 分钟 - 04
把观察窗口缩小
用第 2 秒前后的短时间窗口比较平均速度，看数值与图上连线怎样一起变化。
观察窗口 · 平均变化率 · 趋向 · 约 18 分钟 - 05
为什么一定是 4
用正方形新增面积算出平均速度的误差，说明时间窗口不等于零也能确定瞬时速度。
瞬时速度 · 误差控制 · 正方形增量 · 约 18 分钟 - 06
每一刻的速度连成新图线
把正方形增量的方法推广到其他时刻，用切线与第二张图表示瞬时速度。
速度图 · 切线 · 局部近似 · 约 18 分钟 - 07
正、负、零
把路程与位置分开，用前进、停车和倒车读懂变化率的符号。
变化率正负 · 位置与路程 · 零变化率 · 约 18 分钟 - 08
一段一段加起来
从每段速度不变的小车开始，说明速度乘时间为什么能画成长方形面积，再把各段路程累积起来。
微积分入门 · 累积 · 速度图 · 单位 · 约 18 分钟 - 09
三辆车赛跑
用始终偏慢和始终偏快的阶梯车夹住真车，计算上下界之差，理解有限近似如何确定一个精确结果。
微积分入门 · 上下界 · 逼近 · 积分思想 · 约 18 分钟 - 10
速度图下的面积就是路程
用任意时刻的三角形面积接回路程规律，再用一小段新增量解释变化率和累积为什么相通。
微积分入门 · 变化率与累积 · 三角形面积 · 微积分基本定理 · 约 18 分钟 - 11
终点减起点
比较初始水量不同的两只桶，区分某段新增水量与桶内总量，理解速率为何不能决定起始值。
微积分入门 · 初始值 · 累积变化 · 微积分基本定理 · 约 18 分钟 - 12
谁想出了这些
从面积、运动与趋向的疑问出发，理解阿基米德的前驱思想、牛顿和莱布尼茨的系统方法及后来的严格化。
微积分入门 · 数学史 · 极限思想 · 牛顿与莱布尼茨 · 约 18 分钟 - 13
求变化率，还是求累积量
把小车的两类问题迁移到水、电、人口与药量，再用三维方片夹逼正四棱锥体积。
微积分入门 · 迁移 · 数学应用 · 体积 · 三维切片 · 约 18 分钟 - 14
毕业任务：读懂一只正在进水的桶
只凭两列水桶读数完成上下界、平均速率与一致性检查，并说明单调条件、初始值和有限数据的局限。
微积分入门 · 综合迁移 · 上下界 · 平均变化率 · 初始值 · 约 18 分钟