三辆车赛跑

这一课的问题

真车沿直路向前运动，速度从出发时的 0 米/秒均匀增加。前面已经从路程图求出它在各时刻的速度：时刻乘 2，就是此刻的速度。

现在把前 3 秒均分成若干小段。慢阶梯车在每段内保持真车在这一段开头的速度，快阶梯车保持真车在这一段末尾的速度。三车同时从同一点出发。

为什么真车始终夹在慢车和快车中间？把 3 秒分成 3、6、30 段，两辆阶梯车之间的距离怎样变化？这一方法需要速度满足什么条件？

真车的路程夹在两辆阶梯车之间。切分越细，上下界越靠近，最后能确定它走了 9 米。 我们已经知道里程表的答案，这次要检验的是：只从速度出发，能否把路程找回来。

先说明为什么夹得住

慢阶梯车每段采用真车在开头的速度，整段不变。真车此后只会更快，因此这一段真车走得不会更少。快阶梯车采用段末的速度，整段都不比真车慢，走得不会更少。

把各段相加，这个大小关系仍然成立。三车从同一点出发，在任一时刻，真车也不会跑出两辆阶梯车之间。下界是我们保证不超过真值的数，上界是保证不小于真值的数。

切分段数	慢车路程（米）	快车路程（米）	上下界之差（米）
3	6.0	12.0	6.0
6	7.5	10.5	3.0
30	8.7	9.3	0.6

正在加载三车赛跑。下方保留上下界与误差的推理。

切换段数前，先预测两辆阶梯车会靠近还是分开。再看速度图：慢车对应偏矮的长方形，快车对应偏高的长方形；它们记录的正是两份可以准确计算的路程账本。

差为什么一定能缩小

把总共 3 秒均分成 n 段，每段宽度是 3÷n 秒。每对长方形之间的高度差，是这一小段速度增加了多少。把这些差值块平移叠起来，中间的速度读数互相抵消，所有高度差合起来正好是“末速度减初速度”。

所以差值能拼成一根宽 3÷n、高 6 的柱子：

$$\text{上下界之差}=6\times\frac{3}{n}=\frac{18}{n}\text{（米）}$$

这给出了可以算的保证。想让上下界相差小于 0.01 米，只要段数大于 1800。我们不必真画完所有长方形，也能说明误差如何受控制。

有限近似怎样指向精确数

本车的上下界分别为 $9-\frac{9}{n}$ 与 $9+\frac{9}{n}$。任何与 9 不同的数，和 9 都有一个固定的正距离。把 n 增大到上下界离 9 比这个距离更近，那个不同的数就会被排除。因此，唯一能一直留在所有这些范围里的数是 9。

没有哪一次有限切分把误差变成了零。 精确性来自我们掌握了所有更细切分的误差关系。这就是以后学习积分时会继续使用的思路。

自测：开头最慢还成立吗

如果一段时间内真车先加速、后减速，仍用开头和末尾的速度造两辆车，必定夹住它吗？

查看解释

不一定。中途可能比两端都快，也可能比两端都慢，端点不再保证给出上下界。要继续夹逼，需先知道每段全过程的最低和最高速度，或按增减情况重新分段。只有端点读数不够；本课成立的关键是速度一直不减小。