速度图下的面积就是路程

这一课的问题

一直向前的小车在时刻 t 走过 t×t 米，这时的速度是 2×t 米/秒。它的速度图是一条从原点出发的上升直线。

从出发到任意时刻 T，速度图下的三角形面积怎样计算？为什么它与里程表读数相同？

把小车换成一只只有进水、没有出水的桶：进水变慢时，桶里的水会减少吗？进水速率图和水量图各记录什么？

在本课一直向前的小车中，速度图下的面积等于从出发到此刻走过的路程。 更深一层的关系是：把速度逐段累积，得到路程；反过来研究路程这一刻增长多快，又得到速度。

用一个会移动的终点核对

T 表示从出发起经过的秒数，可以是整数，也可以是小数。此时速度是 2T 米/秒。速度图下从 0 到 T 的部分，是底为 T、高为 2T 的三角形：

$$\text{面积}=\frac12\times T\times2T=T^2$$

这里的平方只是“T 乘 T”的简写。里程表恰好也按 T×T 增长。我们没有逐个试尽所有时刻；这个算式已经对每个非负的 T 同时成立。

T（秒）	三角形面积代表的路程（米）	里程表（米）
1	1	1
2	4	4
3	9	9

正在加载速度与路程联动。上方表格保留面积核对。

拖动终点，先口算面积，再核对里程。表格展示例子，T 的算式说明一般关系；二者各有作用。

换一条速度图，还会相通吗

三角形面积只能直接解决这辆车；更一般的联系要回到“一小段新增量”。设一小段时间长为 h，期间速度最低为 m、最高为 M。新增路程和这条窄窄的面积，都夹在 m×h 与 M×h 之间。

把它们除以 h，相应的平均变化率都夹在 m 与 M 之间。对本课这样连续变化的速度，窗口缩向某一刻时，两端也趋向这一刻的速度。因此，累积面积这一刻增长多快，就是原来那一刻的速度。 面积与路程从同一个零起点出发，并按同样速率增长，就记录了同一份累积。

这个联系是微积分基本定理的核心内容之一。先记住实际动作“逐段累积”与“研究增长多快”，不必急着记名称或运算公式。倒车时还要区分带方向的位置变化与总路程；本课结论中的“路程”使用了一直向前这个条件。

把路程换成水量

水桶的横轴改成分钟，速率图纵轴是升/分。面积的单位变成“升/分×分＝升”，表示新增水量。前两分钟进水速率均匀增加，面积同样是三角形；到第 2 分钟，新增 4 升。

正在加载水桶探索。正文保留水量与进水速率的关系。

把时间分别拖到 2、4、6 分钟，观察桶里水量为 4、12、16 升。后两分钟进水越来越慢，水量仍增加，只是水量图越来越平。速率图在下降，并不表示水量图也下降。

自测：水流慢下来，桶里会少水吗

先用图解释，再查看答案

不会。本桶没有出水或漏水，只要进水速率仍为正，就继续增加水量；速率减小表示增加得较慢。到第 6 分钟，进水速率降为 0，这时水量才停止增加。要让水量减少，需要净流出，单纯把进水调小不够。